Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38841 / 41845
↖ ↑ ↗
← S 44.547420°
E 33.359985°		 ← 435.34 m → S 44.547420°
E 33.365479°		 →
↑
435.33 m
↓
↑
435.33 m
↓
S 44.551335°
E 33.359985°		 ← 435.31 m →
189 508 m²		 S 44.551335°
E 33.365479°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38841 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41845 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592674255371094 y=0.638511657714844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592674255371094 × 216)
    floor (0.592674255371094 × 65536)
    floor (38841.5)     		tx = 38841
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.638511657714844 × 216)
    floor (0.638511657714844 × 65536)
    floor (41845.5)     		ty = 41845
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38841 / 41845 ti = "16/38841/41845"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38841/41845.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38841 ÷ 216
    38841 ÷ 65536     		x = 0.592666625976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41845 ÷ 216
    41845 ÷ 65536     		y = 0.638504028320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592666625976562 × 2 - 1) × π
    0.185333251953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.58224158
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.638504028320312 × 2 - 1) × π
    -0.277008056640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.870246475702499
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58224158} λ = 0.58224158}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.870246475702499))-π/2
    2×atan(0.41884830059489)-π/2
    2×0.396648585887284-π/2
    0.793297171774567-1.57079632675     		φ = -0.77749915
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58224158} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.359985°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77749915 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.547420°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38841 KachelY 41845 0.58224158 -0.77749915 33.359985 -44.547420
    Oben rechts KachelX + 1 38842 KachelY 41845 0.58233746 -0.77749915 33.365479 -44.547420
    Unten links KachelX 38841 KachelY + 1 41846 0.58224158 -0.77756748 33.359985 -44.551335
    Unten rechts KachelX + 1 38842 KachelY + 1 41846 0.58233746 -0.77756748 33.365479 -44.551335
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77749915--0.77756748) × R
    6.83299999999498e-05 × 6371000     		dl = 435.33042999968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77749915--0.77756748) × R
    6.83299999999498e-05 × 6371000     		dr = 435.33042999968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58224158-0.58233746) × cos(-0.77749915) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.712670109399864 × 6371000     		do = 435.335591078383m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58224158-0.58233746) × cos(-0.77756748) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.712622174286706 × 6371000     		du = 435.306309843567m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77749915)-sin(-0.77756748))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.712670109399864-0.712622174286706)×R²
    abs(0.58233746-0.58224158)×4.79351131581485e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.79351131581485e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.79351131581485e-05×40589641000000     		ar = 189508.456625993m²