Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38841 / 29535
↖ ↑ ↗
← N 17.481672°
E 33.359985°		 ← 582.64 m → N 17.481672°
E 33.365479°		 →
↑
582.63 m
↓
↑
582.63 m
↓
N 17.476432°
E 33.359985°		 ← 582.65 m →
339 466 m²		 N 17.476432°
E 33.365479°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38841 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29535 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592674255371094 y=0.450675964355469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592674255371094 × 216)
    floor (0.592674255371094 × 65536)
    floor (38841.5)     		tx = 38841
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.450675964355469 × 216)
    floor (0.450675964355469 × 65536)
    floor (29535.5)     		ty = 29535
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38841 / 29535 ti = "16/38841/29535"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38841/29535.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38841 ÷ 216
    38841 ÷ 65536     		x = 0.592666625976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29535 ÷ 216
    29535 ÷ 65536     		y = 0.450668334960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592666625976562 × 2 - 1) × π
    0.185333251953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.58224158
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.450668334960938 × 2 - 1) × π
    0.098663330078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.309959992943283
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58224158} λ = 0.58224158}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.309959992943283))-π/2
    2×atan(1.36337056859742)-π/2
    2×0.937954528565453-π/2
    1.87590905713091-1.57079632675     		φ = 0.30511273
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58224158} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.359985°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.30511273 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.481672°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38841 KachelY 29535 0.58224158 0.30511273 33.359985 17.481672
    Oben rechts KachelX + 1 38842 KachelY 29535 0.58233746 0.30511273 33.365479 17.481672
    Unten links KachelX 38841 KachelY + 1 29536 0.58224158 0.30502128 33.359985 17.476432
    Unten rechts KachelX + 1 38842 KachelY + 1 29536 0.58233746 0.30502128 33.365479 17.476432
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.30511273-0.30502128) × R
    9.14499999999929e-05 × 6371000     		dl = 582.627949999955m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.30511273-0.30502128) × R
    9.14499999999929e-05 × 6371000     		dr = 582.627949999955m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58224158-0.58233746) × cos(0.30511273) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.953813094457389 × 6371000     		do = 582.638140392294m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58224158-0.58233746) × cos(0.30502128) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.95384056211299 × 6371000     		du = 582.65491905037m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.30511273)-sin(0.30502128))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.953813094457389-0.95384056211299)×R²
    abs(0.58233746-0.58224158)×2.74676556011322e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.74676556011322e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.74676556011322e-05×40589641000000     		ar = 339466.153422544m²