Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38841 / 28599
↖ ↑ ↗
← N 22.314508°
E 33.359985°		 ← 565.11 m → N 22.314508°
E 33.365479°		 →
↑
565.04 m
↓
↑
565.04 m
↓
N 22.309426°
E 33.359985°		 ← 565.13 m →
319 316 m²		 N 22.309426°
E 33.365479°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38841 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28599 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592674255371094 y=0.436393737792969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592674255371094 × 216)
    floor (0.592674255371094 × 65536)
    floor (38841.5)     		tx = 38841
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.436393737792969 × 216)
    floor (0.436393737792969 × 65536)
    floor (28599.5)     		ty = 28599
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38841 / 28599 ti = "16/38841/28599"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38841/28599.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38841 ÷ 216
    38841 ÷ 65536     		x = 0.592666625976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28599 ÷ 216
    28599 ÷ 65536     		y = 0.436386108398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592666625976562 × 2 - 1) × π
    0.185333251953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.58224158
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.436386108398438 × 2 - 1) × π
    0.127227783203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.399697869032028
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58224158} λ = 0.58224158}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.399697869032028))-π/2
    2×atan(1.49137403928368)-π/2
    2×0.98012897885665-π/2
    1.9602579577133-1.57079632675     		φ = 0.38946163
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58224158} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.359985°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38946163 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.314508°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38841 KachelY 28599 0.58224158 0.38946163 33.359985 22.314508
    Oben rechts KachelX + 1 38842 KachelY 28599 0.58233746 0.38946163 33.365479 22.314508
    Unten links KachelX 38841 KachelY + 1 28600 0.58224158 0.38937294 33.359985 22.309426
    Unten rechts KachelX + 1 38842 KachelY + 1 28600 0.58233746 0.38937294 33.365479 22.309426
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38946163-0.38937294) × R
    8.86900000000024e-05 × 6371000     		dl = 565.043990000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38946163-0.38937294) × R
    8.86900000000024e-05 × 6371000     		dr = 565.043990000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58224158-0.58233746) × cos(0.38946163) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.925113607845614 × 6371000     		do = 565.107016520262m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58224158-0.58233746) × cos(0.38937294) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.925147278950199 × 6371000     		du = 565.127584564331m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38946163)-sin(0.38937294))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.925113607845614-0.925147278950199)×R²
    abs(0.58233746-0.58224158)×3.36711045851867e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.36711045851867e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.36711045851867e-05×40589641000000     		ar = 319316.134525892m²