Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38840 / 41852
↖ ↑ ↗
← S 44.574818°
E 33.354492°		 ← 435.09 m → S 44.574818°
E 33.359985°		 →
↑
435.08 m
↓
↑
435.08 m
↓
S 44.578730°
E 33.354492°		 ← 435.06 m →
189 289 m²		 S 44.578730°
E 33.359985°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38840 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41852 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592658996582031 y=0.638618469238281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592658996582031 × 216)
    floor (0.592658996582031 × 65536)
    floor (38840.5)     		tx = 38840
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.638618469238281 × 216)
    floor (0.638618469238281 × 65536)
    floor (41852.5)     		ty = 41852
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38840 / 41852 ti = "16/38840/41852"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38840/41852.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38840 ÷ 216
    38840 ÷ 65536     		x = 0.5926513671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41852 ÷ 216
    41852 ÷ 65536     		y = 0.63861083984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5926513671875 × 2 - 1) × π
    0.185302734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.58214571
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63861083984375 × 2 - 1) × π
    -0.2772216796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.87091759229718
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58214571} λ = 0.58214571}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.87091759229718))-π/2
    2×atan(0.41856729885272)-π/2
    2×0.396409499812929-π/2
    0.792818999625858-1.57079632675     		φ = -0.77797733
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58214571} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.354492°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77797733 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.574818°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38840 KachelY 41852 0.58214571 -0.77797733 33.354492 -44.574818
    Oben rechts KachelX + 1 38841 KachelY 41852 0.58224158 -0.77797733 33.359985 -44.574818
    Unten links KachelX 38840 KachelY + 1 41853 0.58214571 -0.77804562 33.354492 -44.578730
    Unten rechts KachelX + 1 38841 KachelY + 1 41853 0.58224158 -0.77804562 33.359985 -44.578730
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77797733--0.77804562) × R
    6.82899999999709e-05 × 6371000     		dl = 435.075589999814m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77797733--0.77804562) × R
    6.82899999999709e-05 × 6371000     		dr = 435.075589999814m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58214571-0.58224158) × cos(-0.77797733) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.712334584983077 × 6371000     		do = 435.085252655679m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58214571-0.58224158) × cos(-0.77804562) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.712286654665919 × 6371000     		du = 435.055977404148m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77797733)-sin(-0.77804562))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.712334584983077-0.712286654665919)×R²
    abs(0.58224158-0.58214571)×4.79303171572187e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79303171572187e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79303171572187e-05×40589641000000     		ar = 189288.604599581m²