Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38840 / 29048
↖ ↑ ↗
← N 20.014645°
E 33.354492°		 ← 573.90 m → N 20.014645°
E 33.359985°		 →
↑
573.90 m
↓
↑
573.90 m
↓
N 20.009484°
E 33.354492°		 ← 573.92 m →
329 366 m²		 N 20.009484°
E 33.359985°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38840 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29048 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592658996582031 y=0.443244934082031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592658996582031 × 216)
    floor (0.592658996582031 × 65536)
    floor (38840.5)     		tx = 38840
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.443244934082031 × 216)
    floor (0.443244934082031 × 65536)
    floor (29048.5)     		ty = 29048
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38840 / 29048 ti = "16/38840/29048"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38840/29048.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38840 ÷ 216
    38840 ÷ 65536     		x = 0.5926513671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29048 ÷ 216
    29048 ÷ 65536     		y = 0.4432373046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5926513671875 × 2 - 1) × π
    0.185302734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.58214571
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4432373046875 × 2 - 1) × π
    0.113525390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.356650533173218
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58214571} λ = 0.58214571}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.356650533173218))-π/2
    2×atan(1.42853655647489)-π/2
    2×0.960058894212906-π/2
    1.92011778842581-1.57079632675     		φ = 0.34932146
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58214571} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.354492°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34932146 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.014645°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38840 KachelY 29048 0.58214571 0.34932146 33.354492 20.014645
    Oben rechts KachelX + 1 38841 KachelY 29048 0.58224158 0.34932146 33.359985 20.014645
    Unten links KachelX 38840 KachelY + 1 29049 0.58214571 0.34923138 33.354492 20.009484
    Unten rechts KachelX + 1 38841 KachelY + 1 29049 0.58224158 0.34923138 33.359985 20.009484
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34932146-0.34923138) × R
    9.00799999999924e-05 × 6371000     		dl = 573.899679999952m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34932146-0.34923138) × R
    9.00799999999924e-05 × 6371000     		dr = 573.899679999952m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58214571-0.58224158) × cos(0.34932146) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.939605166456441 × 6371000     		do = 573.899344300396m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58214571-0.58224158) × cos(0.34923138) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.939635993454451 × 6371000     		du = 573.918173053766m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34932146)-sin(0.34923138))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.939605166456441-0.939635993454451)×R²
    abs(0.58224158-0.58214571)×3.08269980099363e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.08269980099363e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.08269980099363e-05×40589641000000     		ar = 329366.05317657m²