Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38840 / 28665
↖ ↑ ↗
← N 21.978707°
E 33.354492°		 ← 566.40 m → N 21.978707°
E 33.359985°		 →
↑
566.45 m
↓
↑
566.45 m
↓
N 21.973613°
E 33.354492°		 ← 566.42 m →
320 839 m²		 N 21.973613°
E 33.359985°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38840 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28665 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592658996582031 y=0.437400817871094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592658996582031 × 216)
    floor (0.592658996582031 × 65536)
    floor (38840.5)     		tx = 38840
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.437400817871094 × 216)
    floor (0.437400817871094 × 65536)
    floor (28665.5)     		ty = 28665
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38840 / 28665 ti = "16/38840/28665"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38840/28665.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38840 ÷ 216
    38840 ÷ 65536     		x = 0.5926513671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28665 ÷ 216
    28665 ÷ 65536     		y = 0.437393188476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5926513671875 × 2 - 1) × π
    0.185302734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.58214571
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.437393188476562 × 2 - 1) × π
    0.125213623046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.393370198282181
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58214571} λ = 0.58214571}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.393370198282181))-π/2
    2×atan(1.48196690939651)-π/2
    2×0.977198569619084-π/2
    1.95439713923817-1.57079632675     		φ = 0.38360081
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58214571} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.354492°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38360081 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.978707°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38840 KachelY 28665 0.58214571 0.38360081 33.354492 21.978707
    Oben rechts KachelX + 1 38841 KachelY 28665 0.58224158 0.38360081 33.359985 21.978707
    Unten links KachelX 38840 KachelY + 1 28666 0.58214571 0.38351190 33.354492 21.973613
    Unten rechts KachelX + 1 38841 KachelY + 1 28666 0.58224158 0.38351190 33.359985 21.973613
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38360081-0.38351190) × R
    8.89099999999976e-05 × 6371000     		dl = 566.445609999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38360081-0.38351190) × R
    8.89099999999976e-05 × 6371000     		dr = 566.445609999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58214571-0.58224158) × cos(0.38360081) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.927323003878642 × 6371000     		do = 566.397549608725m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58214571-0.58224158) × cos(0.38351190) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.927356275847997 × 6371000     		du = 566.417871720691m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38360081)-sin(0.38351190))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.927323003878642-0.927356275847997)×R²
    abs(0.58224158-0.58214571)×3.32719693553196e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.32719693553196e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.32719693553196e-05×40589641000000     		ar = 320839.161387462m²