Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 38840 / 28634
↖ ↑ ↗
← N 22.136532°
E 33.354492°		 ← 565.77 m → N 22.136532°
E 33.359985°		 →
↑
565.81 m
↓
↑
565.81 m
↓
N 22.131443°
E 33.354492°		 ← 565.79 m →
320 121 m²		 N 22.131443°
E 33.359985°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38840 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28634 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592658996582031 y=0.436927795410156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592658996582031 × 216)
    floor (0.592658996582031 × 65536)
    floor (38840.5)     		tx = 38840
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.436927795410156 × 216)
    floor (0.436927795410156 × 65536)
    floor (28634.5)     		ty = 28634
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38840 / 28634 ti = "16/38840/28634"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38840/28634.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38840 ÷ 216
    38840 ÷ 65536     		x = 0.5926513671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28634 ÷ 216
    28634 ÷ 65536     		y = 0.436920166015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5926513671875 × 2 - 1) × π
    0.185302734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.58214571
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.436920166015625 × 2 - 1) × π
    0.12615966796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.396342286058624
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58214571} λ = 0.58214571}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.396342286058624))-π/2
    2×atan(1.48637799695569)-π/2
    2×0.978575844416292-π/2
    1.95715168883258-1.57079632675     		φ = 0.38635536
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58214571} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.354492°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38635536 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.136532°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38840 KachelY 28634 0.58214571 0.38635536 33.354492 22.136532
    Oben rechts KachelX + 1 38841 KachelY 28634 0.58224158 0.38635536 33.359985 22.136532
    Unten links KachelX 38840 KachelY + 1 28635 0.58214571 0.38626655 33.354492 22.131443
    Unten rechts KachelX + 1 38841 KachelY + 1 28635 0.58224158 0.38626655 33.359985 22.131443
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38635536-0.38626655) × R
    8.88099999999947e-05 × 6371000     		dl = 565.808509999966m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38635536-0.38626655) × R
    8.88099999999947e-05 × 6371000     		dr = 565.808509999966m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58214571-0.58224158) × cos(0.38635536) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.926288563732879 × 6371000     		do = 565.765726218896m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58214571-0.58224158) × cos(0.38626655) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.926322025014465 × 6371000     		du = 565.786163960457m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38635536)-sin(0.38626655))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.926288563732879-0.926322025014465)×R²
    abs(0.58224158-0.58214571)×3.34612815862112e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.34612815862112e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.34612815862112e-05×40589641000000     		ar = 320120.8446954m²