Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 3884 / 2190
↖ ↑ ↗
← N 63.898731°
W  9.316406°		 ← 2 149.86 m → N 63.898731°
W  9.272461°		 →
↑
2 150.59 m
↓
↑
2 150.59 m
↓
N 63.879390°
W  9.316406°		 ← 2 151.34 m →
4 625 064 m²		 N 63.879390°
W  9.272461°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3884 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2190 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.47418212890625 y=0.26739501953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.47418212890625 × 213)
    floor (0.47418212890625 × 8192)
    floor (3884.5)     		tx = 3884
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.26739501953125 × 213)
    floor (0.26739501953125 × 8192)
    floor (2190.5)     		ty = 2190
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3884 / 2190 ti = "13/3884/2190"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3884/2190.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3884 ÷ 213
    3884 ÷ 8192     		x = 0.47412109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2190 ÷ 213
    2190 ÷ 8192     		y = 0.267333984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47412109375 × 2 - 1) × π
    -0.0517578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.16260196
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.267333984375 × 2 - 1) × π
    0.46533203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.46188369081323
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16260196} λ = -0.16260196}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.46188369081323))-π/2
    2×atan(4.31407826894881)-π/2
    2×1.34301978367404-π/2
    2.68603956734808-1.57079632675     		φ = 1.11524324
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16260196} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.316406°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11524324 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.898731°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3884 KachelY 2190 -0.16260196 1.11524324 -9.316406 63.898731
    Oben rechts KachelX + 1 3885 KachelY 2190 -0.16183497 1.11524324 -9.272461 63.898731
    Unten links KachelX 3884 KachelY + 1 2191 -0.16260196 1.11490568 -9.316406 63.879390
    Unten rechts KachelX + 1 3885 KachelY + 1 2191 -0.16183497 1.11490568 -9.272461 63.879390
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11524324-1.11490568) × R
    0.000337560000000181 × 6371000     		dl = 2150.59476000115m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11524324-1.11490568) × R
    0.000337560000000181 × 6371000     		dr = 2150.59476000115m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16260196--0.16183497) × cos(1.11524324) × R
    0.000766989999999995 × 0.439959062876721 × 6371000     		do = 2149.85700862177m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16260196--0.16183497) × cos(1.11490568) × R
    0.000766989999999995 × 0.440262172703705 × 6371000     		du = 2151.33815275746m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11524324)-sin(1.11490568))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.439959062876721-0.440262172703705)×R²
    abs(-0.16183497--0.16260196)×0.000303109826983838×R²
    0.000766989999999995×0.000303109826983838×6371000²
    0.000766989999999995×0.000303109826983838×40589641000000     		ar = 4625063.93181959m²