Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38839 / 41844
↖ ↑ ↗
← S 44.543505°
E 33.348999°		 ← 435.32 m → S 44.543505°
E 33.354492°		 →
↑
435.27 m
↓
↑
435.27 m
↓
S 44.547420°
E 33.348999°		 ← 435.29 m →
189 474 m²		 S 44.547420°
E 33.354492°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38839 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41844 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592643737792969 y=0.638496398925781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592643737792969 × 216)
    floor (0.592643737792969 × 65536)
    floor (38839.5)     		tx = 38839
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.638496398925781 × 216)
    floor (0.638496398925781 × 65536)
    floor (41844.5)     		ty = 41844
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38839 / 41844 ti = "16/38839/41844"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38839/41844.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38839 ÷ 216
    38839 ÷ 65536     		x = 0.592636108398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41844 ÷ 216
    41844 ÷ 65536     		y = 0.63848876953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592636108398438 × 2 - 1) × π
    0.185272216796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.58204984
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63848876953125 × 2 - 1) × π
    -0.2769775390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.870150601903259
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58204984} λ = 0.58204984}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.870150601903259))-π/2
    2×atan(0.418888459097816)-π/2
    2×0.39668275023144-π/2
    0.793365500462881-1.57079632675     		φ = -0.77743083
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58204984} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.348999°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77743083 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.543505°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38839 KachelY 41844 0.58204984 -0.77743083 33.348999 -44.543505
    Oben rechts KachelX + 1 38840 KachelY 41844 0.58214571 -0.77743083 33.354492 -44.543505
    Unten links KachelX 38839 KachelY + 1 41845 0.58204984 -0.77749915 33.348999 -44.547420
    Unten rechts KachelX + 1 38840 KachelY + 1 41845 0.58214571 -0.77749915 33.354492 -44.547420
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77743083--0.77749915) × R
    6.83200000000106e-05 × 6371000     		dl = 435.266720000067m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77743083--0.77749915) × R
    6.83200000000106e-05 × 6371000     		dr = 435.266720000067m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58204984-0.58214571) × cos(-0.77743083) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.712718034171067 × 6371000     		do = 435.31945873012m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58204984-0.58214571) × cos(-0.77749915) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.712670109399864 × 6371000     		du = 435.290186865989m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77743083)-sin(-0.77749915))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.712718034171067-0.712670109399864)×R²
    abs(0.58214571-0.58204984)×4.79247712029673e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79247712029673e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79247712029673e-05×40589641000000     		ar = 189473.702493135m²