Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38839 / 29539
↖ ↑ ↗
← N 17.460713°
E 33.348999°		 ← 582.64 m → N 17.460713°
E 33.354492°		 →
↑
582.69 m
↓
↑
582.69 m
↓
N 17.455473°
E 33.348999°		 ← 582.66 m →
339 507 m²		 N 17.455473°
E 33.354492°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38839 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29539 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592643737792969 y=0.450736999511719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592643737792969 × 216)
    floor (0.592643737792969 × 65536)
    floor (38839.5)     		tx = 38839
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.450736999511719 × 216)
    floor (0.450736999511719 × 65536)
    floor (29539.5)     		ty = 29539
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38839 / 29539 ti = "16/38839/29539"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38839/29539.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38839 ÷ 216
    38839 ÷ 65536     		x = 0.592636108398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29539 ÷ 216
    29539 ÷ 65536     		y = 0.450729370117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592636108398438 × 2 - 1) × π
    0.185272216796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.58204984
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.450729370117188 × 2 - 1) × π
    0.098541259765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.309576497746323
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58204984} λ = 0.58204984}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.309576497746323))-π/2
    2×atan(1.36284782277435)-π/2
    2×0.93777162666414-π/2
    1.87554325332828-1.57079632675     		φ = 0.30474693
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58204984} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.348999°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.30474693 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.460713°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38839 KachelY 29539 0.58204984 0.30474693 33.348999 17.460713
    Oben rechts KachelX + 1 38840 KachelY 29539 0.58214571 0.30474693 33.354492 17.460713
    Unten links KachelX 38839 KachelY + 1 29540 0.58204984 0.30465547 33.348999 17.455473
    Unten rechts KachelX + 1 38840 KachelY + 1 29540 0.58214571 0.30465547 33.354492 17.455473
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.30474693-0.30465547) × R
    9.14600000000432e-05 × 6371000     		dl = 582.691660000275m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.30474693-0.30465547) × R
    9.14600000000432e-05 × 6371000     		dr = 582.691660000275m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58204984-0.58214571) × cos(0.30474693) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.953922917216476 × 6371000     		do = 582.644451358534m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58204984-0.58214571) × cos(0.30465547) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.95395035596208 × 6371000     		du = 582.661210608772m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.30474693)-sin(0.30465547))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.953922917216476-0.95395035596208)×R²
    abs(0.58214571-0.58204984)×2.74387456034031e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.74387456034031e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.74387456034031e-05×40589641000000     		ar = 339506.945526363m²