Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38838 / 29534
↖ ↑ ↗
← N 17.486911°
E 33.343506°		 ← 582.62 m → N 17.486911°
E 33.348999°		 →
↑
582.56 m
↓
↑
582.56 m
↓
N 17.481672°
E 33.343506°		 ← 582.64 m →
339 419 m²		 N 17.481672°
E 33.348999°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38838 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29534 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592628479003906 y=0.450660705566406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592628479003906 × 216)
    floor (0.592628479003906 × 65536)
    floor (38838.5)     		tx = 38838
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.450660705566406 × 216)
    floor (0.450660705566406 × 65536)
    floor (29534.5)     		ty = 29534
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38838 / 29534 ti = "16/38838/29534"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38838/29534.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38838 ÷ 216
    38838 ÷ 65536     		x = 0.592620849609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29534 ÷ 216
    29534 ÷ 65536     		y = 0.450653076171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592620849609375 × 2 - 1) × π
    0.18524169921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.58195396
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.450653076171875 × 2 - 1) × π
    0.09869384765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.310055866742523
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58195396} λ = 0.58195396}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.310055866742523))-π/2
    2×atan(1.36350128637971)-π/2
    2×0.938000250749535-π/2
    1.87600050149907-1.57079632675     		φ = 0.30520417
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58195396} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.343506°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.30520417 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.486911°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38838 KachelY 29534 0.58195396 0.30520417 33.343506 17.486911
    Oben rechts KachelX + 1 38839 KachelY 29534 0.58204984 0.30520417 33.348999 17.486911
    Unten links KachelX 38838 KachelY + 1 29535 0.58195396 0.30511273 33.343506 17.481672
    Unten rechts KachelX + 1 38839 KachelY + 1 29535 0.58204984 0.30511273 33.348999 17.481672
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.30520417-0.30511273) × R
    9.14399999999982e-05 × 6371000     		dl = 582.564239999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.30520417-0.30511273) × R
    9.14399999999982e-05 × 6371000     		dr = 582.564239999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58195396-0.58204984) × cos(0.30520417) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.95378562182983 × 6371000     		do = 582.621358697765m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58195396-0.58204984) × cos(0.30511273) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.953813094457389 × 6371000     		du = 582.638140392968m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.30520417)-sin(0.30511273))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.95378562182983-0.953813094457389)×R²
    abs(0.58204984-0.58195396)×2.74726275586445e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.74726275586445e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.74726275586445e-05×40589641000000     		ar = 339419.257481795m²