Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38836 / 42133
↖ ↑ ↗
← S 45.663966°
E 33.332519°		 ← 426.90 m → S 45.663966°
E 33.338013°		 →
↑
426.86 m
↓
↑
426.86 m
↓
S 45.667805°
E 33.332519°		 ← 426.87 m →
182 220 m²		 S 45.667805°
E 33.338013°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38836 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42133 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592597961425781 y=0.642906188964844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592597961425781 × 216)
    floor (0.592597961425781 × 65536)
    floor (38836.5)     		tx = 38836
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.642906188964844 × 216)
    floor (0.642906188964844 × 65536)
    floor (42133.5)     		ty = 42133
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38836 / 42133 ti = "16/38836/42133"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38836/42133.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38836 ÷ 216
    38836 ÷ 65536     		x = 0.59259033203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42133 ÷ 216
    42133 ÷ 65536     		y = 0.642898559570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59259033203125 × 2 - 1) × π
    0.1851806640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.58176221
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.642898559570312 × 2 - 1) × π
    -0.285797119140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.897858129883652
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58176221} λ = 0.58176221}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.897858129883652))-π/2
    2×atan(0.407441412402227)-π/2
    2×0.386904881668294-π/2
    0.773809763336588-1.57079632675     		φ = -0.79698656
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58176221} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.332519°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79698656 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.663966°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38836 KachelY 42133 0.58176221 -0.79698656 33.332519 -45.663966
    Oben rechts KachelX + 1 38837 KachelY 42133 0.58185809 -0.79698656 33.338013 -45.663966
    Unten links KachelX 38836 KachelY + 1 42134 0.58176221 -0.79705356 33.332519 -45.667805
    Unten rechts KachelX + 1 38837 KachelY + 1 42134 0.58185809 -0.79705356 33.338013 -45.667805
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79698656--0.79705356) × R
    6.70000000000393e-05 × 6371000     		dl = 426.85700000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79698656--0.79705356) × R
    6.70000000000393e-05 × 6371000     		dr = 426.85700000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58176221-0.58185809) × cos(-0.79698656) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.698865252282107 × 6371000     		do = 426.902873677313m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58176221-0.58185809) × cos(-0.79705356) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.698817328738881 × 6371000     		du = 426.873599510006m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79698656)-sin(-0.79705356))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.698865252282107-0.698817328738881)×R²
    abs(0.58185809-0.58176221)×4.79235432263581e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.79235432263581e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.79235432263581e-05×40589641000000     		ar = 182220.232075676m²