Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38834 / 28563
↖ ↑ ↗
← N 22.497332°
E 33.321533°		 ← 564.31 m → N 22.497332°
E 33.327026°		 →
↑
564.34 m
↓
↑
564.34 m
↓
N 22.492257°
E 33.321533°		 ← 564.33 m →
318 468 m²		 N 22.492257°
E 33.327026°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38834 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28563 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592567443847656 y=0.435844421386719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592567443847656 × 216)
    floor (0.592567443847656 × 65536)
    floor (38834.5)     		tx = 38834
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.435844421386719 × 216)
    floor (0.435844421386719 × 65536)
    floor (28563.5)     		ty = 28563
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38834 / 28563 ti = "16/38834/28563"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38834/28563.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38834 ÷ 216
    38834 ÷ 65536     		x = 0.592559814453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28563 ÷ 216
    28563 ÷ 65536     		y = 0.435836791992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592559814453125 × 2 - 1) × π
    0.18511962890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.58157047
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.435836791992188 × 2 - 1) × π
    0.128326416015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.403149325804672
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58157047} λ = 0.58157047}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.403149325804672))-π/2
    2×atan(1.49653034557752)-π/2
    2×0.981724425326877-π/2
    1.96344885065375-1.57079632675     		φ = 0.39265252
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58157047} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.321533°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39265252 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.497332°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38834 KachelY 28563 0.58157047 0.39265252 33.321533 22.497332
    Oben rechts KachelX + 1 38835 KachelY 28563 0.58166634 0.39265252 33.327026 22.497332
    Unten links KachelX 38834 KachelY + 1 28564 0.58157047 0.39256394 33.321533 22.492257
    Unten rechts KachelX + 1 38835 KachelY + 1 28564 0.58166634 0.39256394 33.327026 22.492257
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39265252-0.39256394) × R
    8.85800000000048e-05 × 6371000     		dl = 564.34318000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39265252-0.39256394) × R
    8.85800000000048e-05 × 6371000     		dr = 564.34318000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58157047-0.58166634) × cos(0.39265252) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.923897349900483 × 6371000     		do = 564.305202054613m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58157047-0.58166634) × cos(0.39256394) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.923931240563718 × 6371000     		du = 564.325902057235m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39265252)-sin(0.39256394))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.923897349900483-0.923931240563718)×R²
    abs(0.58166634-0.58157047)×3.38906632347813e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.38906632347813e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.38906632347813e-05×40589641000000     		ar = 318467.633378824m²