Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38833 / 29169
↖ ↑ ↗
← N 19.388887°
E 33.316040°		 ← 576.21 m → N 19.388887°
E 33.321533°		 →
↑
576.19 m
↓
↑
576.19 m
↓
N 19.383705°
E 33.316040°		 ← 576.23 m →
332 013 m²		 N 19.383705°
E 33.321533°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38833 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29169 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592552185058594 y=0.445091247558594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592552185058594 × 216)
    floor (0.592552185058594 × 65536)
    floor (38833.5)     		tx = 38833
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.445091247558594 × 216)
    floor (0.445091247558594 × 65536)
    floor (29169.5)     		ty = 29169
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38833 / 29169 ti = "16/38833/29169"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38833/29169.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38833 ÷ 216
    38833 ÷ 65536     		x = 0.592544555664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29169 ÷ 216
    29169 ÷ 65536     		y = 0.445083618164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592544555664062 × 2 - 1) × π
    0.185089111328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.58147459
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.445083618164062 × 2 - 1) × π
    0.109832763671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.345049803465164
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58147459} λ = 0.58147459}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.345049803465164))-π/2
    2×atan(1.4120602434096)-π/2
    2×0.954598115919891-π/2
    1.90919623183978-1.57079632675     		φ = 0.33839991
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58147459} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.316040°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33839991 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.388887°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38833 KachelY 29169 0.58147459 0.33839991 33.316040 19.388887
    Oben rechts KachelX + 1 38834 KachelY 29169 0.58157047 0.33839991 33.321533 19.388887
    Unten links KachelX 38833 KachelY + 1 29170 0.58147459 0.33830947 33.316040 19.383705
    Unten rechts KachelX + 1 38834 KachelY + 1 29170 0.58157047 0.33830947 33.321533 19.383705
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33839991-0.33830947) × R
    9.04400000000249e-05 × 6371000     		dl = 576.193240000159m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33839991-0.33830947) × R
    9.04400000000249e-05 × 6371000     		dr = 576.193240000159m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58147459-0.58157047) × cos(0.33839991) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.943287067800436 × 6371000     		do = 576.208301430379m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58147459-0.58157047) × cos(0.33830947) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.943317088048654 × 6371000     		du = 576.226639343433m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33839991)-sin(0.33830947))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.943287067800436-0.943317088048654)×R²
    abs(0.58157047-0.58147459)×3.00202482177436e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.00202482177436e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.00202482177436e-05×40589641000000     		ar = 332012.611433358m²