Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38833 / 29071
↖ ↑ ↗
← N 19.895888°
E 33.316040°		 ← 574.39 m → N 19.895888°
E 33.321533°		 →
↑
574.35 m
↓
↑
574.35 m
↓
N 19.890723°
E 33.316040°		 ← 574.41 m →
329 905 m²		 N 19.890723°
E 33.321533°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38833 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29071 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592552185058594 y=0.443595886230469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592552185058594 × 216)
    floor (0.592552185058594 × 65536)
    floor (38833.5)     		tx = 38833
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.443595886230469 × 216)
    floor (0.443595886230469 × 65536)
    floor (29071.5)     		ty = 29071
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38833 / 29071 ti = "16/38833/29071"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38833/29071.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38833 ÷ 216
    38833 ÷ 65536     		x = 0.592544555664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29071 ÷ 216
    29071 ÷ 65536     		y = 0.443588256835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592544555664062 × 2 - 1) × π
    0.185089111328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.58147459
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.443588256835938 × 2 - 1) × π
    0.112823486328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.354445435790695
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58147459} λ = 0.58147459}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.354445435790695))-π/2
    2×atan(1.42538996479892)-π/2
    2×0.959022543481818-π/2
    1.91804508696364-1.57079632675     		φ = 0.34724876
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58147459} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.316040°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34724876 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.895888°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38833 KachelY 29071 0.58147459 0.34724876 33.316040 19.895888
    Oben rechts KachelX + 1 38834 KachelY 29071 0.58157047 0.34724876 33.321533 19.895888
    Unten links KachelX 38833 KachelY + 1 29072 0.58147459 0.34715861 33.316040 19.890723
    Unten rechts KachelX + 1 38834 KachelY + 1 29072 0.58157047 0.34715861 33.321533 19.890723
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34724876-0.34715861) × R
    9.01500000000111e-05 × 6371000     		dl = 574.34565000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34724876-0.34715861) × R
    9.01500000000111e-05 × 6371000     		dr = 574.34565000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58147459-0.58157047) × cos(0.34724876) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.94031255061621 × 6371000     		do = 574.39131320611m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58147459-0.58157047) × cos(0.34715861) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.940343225928595 × 6371000     		du = 574.41005126608m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34724876)-sin(0.34715861))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.94031255061621-0.940343225928595)×R²
    abs(0.58157047-0.58147459)×3.06753123852088e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.06753123852088e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.06753123852088e-05×40589641000000     		ar = 329904.533422709m²