Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38832 / 42096
↖ ↑ ↗
← S 45.521744°
E 33.310547°		 ← 427.94 m → S 45.521744°
E 33.316040°		 →
↑
427.94 m
↓
↑
427.94 m
↓
S 45.525592°
E 33.310547°		 ← 427.91 m →
183 127 m²		 S 45.525592°
E 33.316040°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38832 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42096 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592536926269531 y=0.642341613769531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592536926269531 × 216)
    floor (0.592536926269531 × 65536)
    floor (38832.5)     		tx = 38832
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.642341613769531 × 216)
    floor (0.642341613769531 × 65536)
    floor (42096.5)     		ty = 42096
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38832 / 42096 ti = "16/38832/42096"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38832/42096.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38832 ÷ 216
    38832 ÷ 65536     		x = 0.592529296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42096 ÷ 216
    42096 ÷ 65536     		y = 0.642333984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592529296875 × 2 - 1) × π
    0.18505859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.58137872
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.642333984375 × 2 - 1) × π
    -0.28466796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.894310799311768
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58137872} λ = 0.58137872}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.894310799311768))-π/2
    2×atan(0.408889308345159)-π/2
    2×0.388146007280316-π/2
    0.776292014560633-1.57079632675     		φ = -0.79450431
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58137872} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.310547°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79450431 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.521744°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38832 KachelY 42096 0.58137872 -0.79450431 33.310547 -45.521744
    Oben rechts KachelX + 1 38833 KachelY 42096 0.58147459 -0.79450431 33.316040 -45.521744
    Unten links KachelX 38832 KachelY + 1 42097 0.58137872 -0.79457148 33.310547 -45.525592
    Unten rechts KachelX + 1 38833 KachelY + 1 42097 0.58147459 -0.79457148 33.316040 -45.525592
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79450431--0.79457148) × R
    6.71700000000053e-05 × 6371000     		dl = 427.940070000034m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79450431--0.79457148) × R
    6.71700000000053e-05 × 6371000     		dr = 427.940070000034m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58137872-0.58147459) × cos(-0.79450431) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.700638535043895 × 6371000     		do = 427.941448395518m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58137872-0.58147459) × cos(-0.79457148) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.700590606567233 × 6371000     		du = 427.912174268138m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79450431)-sin(-0.79457148))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.700638535043895-0.700590606567233)×R²
    abs(0.58147459-0.58137872)×4.7928476661574e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.7928476661574e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.7928476661574e-05×40589641000000     		ar = 183127.029664833m²