Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38832 / 29008
↖ ↑ ↗
← N 20.220966°
E 33.310547°		 ← 573.14 m → N 20.220966°
E 33.316040°		 →
↑
573.20 m
↓
↑
573.20 m
↓
N 20.215811°
E 33.310547°		 ← 573.16 m →
328 530 m²		 N 20.215811°
E 33.316040°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38832 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29008 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592536926269531 y=0.442634582519531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592536926269531 × 216)
    floor (0.592536926269531 × 65536)
    floor (38832.5)     		tx = 38832
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.442634582519531 × 216)
    floor (0.442634582519531 × 65536)
    floor (29008.5)     		ty = 29008
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38832 / 29008 ti = "16/38832/29008"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38832/29008.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38832 ÷ 216
    38832 ÷ 65536     		x = 0.592529296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29008 ÷ 216
    29008 ÷ 65536     		y = 0.442626953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592529296875 × 2 - 1) × π
    0.18505859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.58137872
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.442626953125 × 2 - 1) × π
    0.11474609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.360485485142822
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58137872} λ = 0.58137872}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.360485485142822))-π/2
    2×atan(1.4340254436381)-π/2
    2×0.961859378785497-π/2
    1.92371875757099-1.57079632675     		φ = 0.35292243
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58137872} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.310547°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35292243 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.220966°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38832 KachelY 29008 0.58137872 0.35292243 33.310547 20.220966
    Oben rechts KachelX + 1 38833 KachelY 29008 0.58147459 0.35292243 33.316040 20.220966
    Unten links KachelX 38832 KachelY + 1 29009 0.58137872 0.35283246 33.310547 20.215811
    Unten rechts KachelX + 1 38833 KachelY + 1 29009 0.58147459 0.35283246 33.316040 20.215811
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35292243-0.35283246) × R
    8.99699999999948e-05 × 6371000     		dl = 573.198869999967m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35292243-0.35283246) × R
    8.99699999999948e-05 × 6371000     		dr = 573.198869999967m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58137872-0.58147459) × cos(0.35292243) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.93836660803527 × 6371000     		do = 573.142847964314m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58137872-0.58147459) × cos(0.35283246) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.938397701611253 × 6371000     		du = 573.16183954025m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35292243)-sin(0.35283246))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.93836660803527-0.938397701611253)×R²
    abs(0.58147459-0.58137872)×3.10935759830766e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.10935759830766e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.10935759830766e-05×40589641000000     		ar = 328530.275998114m²