Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38832 / 28592
↖ ↑ ↗
← N 22.350076°
E 33.310547°		 ← 564.90 m → N 22.350076°
E 33.316040°		 →
↑
564.92 m
↓
↑
564.92 m
↓
N 22.344995°
E 33.310547°		 ← 564.92 m →
319 129 m²		 N 22.344995°
E 33.316040°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38832 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28592 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592536926269531 y=0.436286926269531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592536926269531 × 216)
    floor (0.592536926269531 × 65536)
    floor (38832.5)     		tx = 38832
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.436286926269531 × 216)
    floor (0.436286926269531 × 65536)
    floor (28592.5)     		ty = 28592
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38832 / 28592 ti = "16/38832/28592"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38832/28592.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38832 ÷ 216
    38832 ÷ 65536     		x = 0.592529296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28592 ÷ 216
    28592 ÷ 65536     		y = 0.436279296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592529296875 × 2 - 1) × π
    0.18505859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.58137872
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.436279296875 × 2 - 1) × π
    0.12744140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.400368985626709
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58137872} λ = 0.58137872}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.400368985626709))-π/2
    2×atan(1.49237526108102)-π/2
    2×0.980439368835759-π/2
    1.96087873767152-1.57079632675     		φ = 0.39008241
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58137872} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.310547°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39008241 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.350076°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38832 KachelY 28592 0.58137872 0.39008241 33.310547 22.350076
    Oben rechts KachelX + 1 38833 KachelY 28592 0.58147459 0.39008241 33.316040 22.350076
    Unten links KachelX 38832 KachelY + 1 28593 0.58137872 0.38999374 33.310547 22.344995
    Unten rechts KachelX + 1 38833 KachelY + 1 28593 0.58147459 0.38999374 33.316040 22.344995
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39008241-0.38999374) × R
    8.86700000000129e-05 × 6371000     		dl = 564.916570000082m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39008241-0.38999374) × R
    8.86700000000129e-05 × 6371000     		dr = 564.916570000082m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58137872-0.58147459) × cos(0.39008241) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.924877725389341 × 6371000     		do = 564.904003413215m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58137872-0.58147459) × cos(0.38999374) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.924911439818669 × 6371000     		du = 564.924595774322m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39008241)-sin(0.38999374))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.924877725389341-0.924911439818669)×R²
    abs(0.58147459-0.58137872)×3.37144293284242e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.37144293284242e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.37144293284242e-05×40589641000000     		ar = 319129.448679569m²