Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 38832 / 28560
↖ ↑ ↗
← N 22.512557°
E 33.310547°		 ← 564.24 m → N 22.512557°
E 33.316040°		 →
↑
564.28 m
↓
↑
564.28 m
↓
N 22.507482°
E 33.310547°		 ← 564.26 m →
318 397 m²		 N 22.507482°
E 33.316040°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38832 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28560 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592536926269531 y=0.435798645019531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592536926269531 × 216)
    floor (0.592536926269531 × 65536)
    floor (38832.5)     		tx = 38832
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.435798645019531 × 216)
    floor (0.435798645019531 × 65536)
    floor (28560.5)     		ty = 28560
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38832 / 28560 ti = "16/38832/28560"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38832/28560.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38832 ÷ 216
    38832 ÷ 65536     		x = 0.592529296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28560 ÷ 216
    28560 ÷ 65536     		y = 0.435791015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592529296875 × 2 - 1) × π
    0.18505859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.58137872
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.435791015625 × 2 - 1) × π
    0.12841796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.403436947202393
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58137872} λ = 0.58137872}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.403436947202393))-π/2
    2×atan(1.49696084163422)-π/2
    2×0.981857284337594-π/2
    1.96371456867519-1.57079632675     		φ = 0.39291824
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58137872} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.310547°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39291824 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.512557°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38832 KachelY 28560 0.58137872 0.39291824 33.310547 22.512557
    Oben rechts KachelX + 1 38833 KachelY 28560 0.58147459 0.39291824 33.316040 22.512557
    Unten links KachelX 38832 KachelY + 1 28561 0.58137872 0.39282967 33.310547 22.507482
    Unten rechts KachelX + 1 38833 KachelY + 1 28561 0.58147459 0.39282967 33.316040 22.507482
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39291824-0.39282967) × R
    8.85699999999545e-05 × 6371000     		dl = 564.27946999971m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39291824-0.39282967) × R
    8.85699999999545e-05 × 6371000     		dr = 564.27946999971m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58137872-0.58147459) × cos(0.39291824) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.923795642073861 × 6371000     		do = 564.243080157999m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58137872-0.58147459) × cos(0.39282967) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.92382955065447 × 6371000     		du = 564.263791104334m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39291824)-sin(0.39282967))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.923795642073861-0.92382955065447)×R²
    abs(0.58147459-0.58137872)×3.39085806094763e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.39085806094763e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.39085806094763e-05×40589641000000     		ar = 318396.629811621m²