Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38831 / 30159
↖ ↑ ↗
← N 14.184512°
E 33.305053°		 ← 592.23 m → N 14.184512°
E 33.310547°		 →
↑
592.25 m
↓
↑
592.25 m
↓
N 14.179186°
E 33.305053°		 ← 592.24 m →
350 750 m²		 N 14.179186°
E 33.310547°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38831 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30159 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592521667480469 y=0.460197448730469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592521667480469 × 216)
    floor (0.592521667480469 × 65536)
    floor (38831.5)     		tx = 38831
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.460197448730469 × 216)
    floor (0.460197448730469 × 65536)
    floor (30159.5)     		ty = 30159
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38831 / 30159 ti = "16/38831/30159"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38831/30159.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38831 ÷ 216
    38831 ÷ 65536     		x = 0.592514038085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30159 ÷ 216
    30159 ÷ 65536     		y = 0.460189819335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592514038085938 × 2 - 1) × π
    0.185028076171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.58128284
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.460189819335938 × 2 - 1) × π
    0.079620361328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.250134742217453
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58128284} λ = 0.58128284}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.250134742217453))-π/2
    2×atan(1.28419844077622)-π/2
    2×0.909181381039948-π/2
    1.8183627620799-1.57079632675     		φ = 0.24756644
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58128284} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.305053°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.24756644 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.184512°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38831 KachelY 30159 0.58128284 0.24756644 33.305053 14.184512
    Oben rechts KachelX + 1 38832 KachelY 30159 0.58137872 0.24756644 33.310547 14.184512
    Unten links KachelX 38831 KachelY + 1 30160 0.58128284 0.24747348 33.305053 14.179186
    Unten rechts KachelX + 1 38832 KachelY + 1 30160 0.58137872 0.24747348 33.310547 14.179186
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.24756644-0.24747348) × R
    9.2960000000003e-05 × 6371000     		dl = 592.248160000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.24756644-0.24747348) × R
    9.2960000000003e-05 × 6371000     		dr = 592.248160000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58128284-0.58137872) × cos(0.24756644) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.969511624443391 × 6371000     		do = 592.227610668747m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58128284-0.58137872) × cos(0.24747348) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.969534399667488 × 6371000     		du = 592.241522948094m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.24756644)-sin(0.24747348))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.969511624443391-0.969534399667488)×R²
    abs(0.58137872-0.58128284)×2.27752240976598e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.27752240976598e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.27752240976598e-05×40589641000000     		ar = 350749.832733248m²