Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38831 / 29185
↖ ↑ ↗
← N 19.305959°
E 33.305053°		 ← 576.50 m → N 19.305959°
E 33.310547°		 →
↑
576.45 m
↓
↑
576.45 m
↓
N 19.300775°
E 33.305053°		 ← 576.52 m →
332 328 m²		 N 19.300775°
E 33.310547°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38831 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29185 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592521667480469 y=0.445335388183594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592521667480469 × 216)
    floor (0.592521667480469 × 65536)
    floor (38831.5)     		tx = 38831
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.445335388183594 × 216)
    floor (0.445335388183594 × 65536)
    floor (29185.5)     		ty = 29185
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38831 / 29185 ti = "16/38831/29185"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38831/29185.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38831 ÷ 216
    38831 ÷ 65536     		x = 0.592514038085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29185 ÷ 216
    29185 ÷ 65536     		y = 0.445327758789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592514038085938 × 2 - 1) × π
    0.185028076171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.58128284
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.445327758789062 × 2 - 1) × π
    0.109344482421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.343515822677322
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58128284} λ = 0.58128284}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.343515822677322))-π/2
    2×atan(1.40989583063317)-π/2
    2×0.953874439801767-π/2
    1.90774887960353-1.57079632675     		φ = 0.33695255
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58128284} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.305053°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33695255 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.305959°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38831 KachelY 29185 0.58128284 0.33695255 33.305053 19.305959
    Oben rechts KachelX + 1 38832 KachelY 29185 0.58137872 0.33695255 33.310547 19.305959
    Unten links KachelX 38831 KachelY + 1 29186 0.58128284 0.33686207 33.305053 19.300775
    Unten rechts KachelX + 1 38832 KachelY + 1 29186 0.58137872 0.33686207 33.310547 19.300775
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33695255-0.33686207) × R
    9.04800000000039e-05 × 6371000     		dl = 576.448080000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33695255-0.33686207) × R
    9.04800000000039e-05 × 6371000     		dr = 576.448080000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58128284-0.58137872) × cos(0.33695255) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.943766571539219 × 6371000     		do = 576.501206999547m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58128284-0.58137872) × cos(0.33686207) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.943796481499599 × 6371000     		du = 576.519477543112m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33695255)-sin(0.33686207))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.943766571539219-0.943796481499599)×R²
    abs(0.58137872-0.58128284)×2.99099603802144e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.99099603802144e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.99099603802144e-05×40589641000000     		ar = 332328.280129175m²