Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38830 / 28654
↖ ↑ ↗
← N 22.034730°
E 33.299560°		 ← 566.17 m → N 22.034730°
E 33.305053°		 →
↑
566.25 m
↓
↑
566.25 m
↓
N 22.029638°
E 33.299560°		 ← 566.19 m →
320 604 m²		 N 22.029638°
E 33.305053°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38830 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28654 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592506408691406 y=0.437232971191406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592506408691406 × 216)
    floor (0.592506408691406 × 65536)
    floor (38830.5)     		tx = 38830
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.437232971191406 × 216)
    floor (0.437232971191406 × 65536)
    floor (28654.5)     		ty = 28654
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38830 / 28654 ti = "16/38830/28654"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38830/28654.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38830 ÷ 216
    38830 ÷ 65536     		x = 0.592498779296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28654 ÷ 216
    28654 ÷ 65536     		y = 0.437225341796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592498779296875 × 2 - 1) × π
    0.18499755859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.58118697
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.437225341796875 × 2 - 1) × π
    0.12554931640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.394424810073822
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58118697} λ = 0.58118697}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.394424810073822))-π/2
    2×atan(1.48353063359004)-π/2
    2×0.977687455939618-π/2
    1.95537491187924-1.57079632675     		φ = 0.38457859
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58118697} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.299560°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38457859 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.034730°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38830 KachelY 28654 0.58118697 0.38457859 33.299560 22.034730
    Oben rechts KachelX + 1 38831 KachelY 28654 0.58128284 0.38457859 33.305053 22.034730
    Unten links KachelX 38830 KachelY + 1 28655 0.58118697 0.38448971 33.299560 22.029638
    Unten rechts KachelX + 1 38831 KachelY + 1 28655 0.58128284 0.38448971 33.305053 22.029638
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38457859-0.38448971) × R
    8.88800000000134e-05 × 6371000     		dl = 566.254480000085m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38457859-0.38448971) × R
    8.88800000000134e-05 × 6371000     		dr = 566.254480000085m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58118697-0.58128284) × cos(0.38457859) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.926956614750925 × 6371000     		do = 566.173763610454m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58118697-0.58128284) × cos(0.38448971) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.926989956069512 × 6371000     		du = 566.194128080083m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38457859)-sin(0.38448971))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.926956614750925-0.926989956069512)×R²
    abs(0.58128284-0.58118697)×3.33413185870102e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.33413185870102e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.33413185870102e-05×40589641000000     		ar = 320604.196050099m²