Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3883 / 2189
↖ ↑ ↗
← N 63.918058°
W  9.360351°		 ← 2 148.38 m → N 63.918058°
W  9.316406°		 →
↑
2 149.13 m
↓
↑
2 149.13 m
↓
N 63.898731°
W  9.360351°		 ← 2 149.86 m →
4 618 730 m²		 N 63.898731°
W  9.316406°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3883 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2189 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.47406005859375 y=0.26727294921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.47406005859375 × 213)
    floor (0.47406005859375 × 8192)
    floor (3883.5)     		tx = 3883
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.26727294921875 × 213)
    floor (0.26727294921875 × 8192)
    floor (2189.5)     		ty = 2189
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3883 / 2189 ti = "13/3883/2189"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3883/2189.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3883 ÷ 213
    3883 ÷ 8192     		x = 0.4739990234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2189 ÷ 213
    2189 ÷ 8192     		y = 0.2672119140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4739990234375 × 2 - 1) × π
    -0.052001953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.16336895
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2672119140625 × 2 - 1) × π
    0.465576171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.46265068120715
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16336895} λ = -0.16336895}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.46265068120715))-π/2
    2×atan(4.31738839479481)-π/2
    2×1.34318844776598-π/2
    2.68637689553196-1.57079632675     		φ = 1.11558057
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16336895} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.360351°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11558057 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.918058°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3883 KachelY 2189 -0.16336895 1.11558057 -9.360351 63.918058
    Oben rechts KachelX + 1 3884 KachelY 2189 -0.16260196 1.11558057 -9.316406 63.918058
    Unten links KachelX 3883 KachelY + 1 2190 -0.16336895 1.11524324 -9.360351 63.898731
    Unten rechts KachelX + 1 3884 KachelY + 1 2190 -0.16260196 1.11524324 -9.316406 63.898731
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11558057-1.11524324) × R
    0.000337330000000025 × 6371000     		dl = 2149.12943000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11558057-1.11524324) × R
    0.000337330000000025 × 6371000     		dr = 2149.12943000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16336895--0.16260196) × cos(1.11558057) × R
    0.000766990000000023 × 0.439656109496066 × 6371000     		do = 2148.3766289601m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16336895--0.16260196) × cos(1.11524324) × R
    0.000766990000000023 × 0.439959062876721 × 6371000     		du = 2149.85700862185m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11558057)-sin(1.11524324))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.439656109496066-0.439959062876721)×R²
    abs(-0.16260196--0.16336895)×0.000302953380654836×R²
    0.000766990000000023×0.000302953380654836×6371000²
    0.000766990000000023×0.000302953380654836×40589641000000     		ar = 4618730.24756886m²