Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38829 / 29085
↖ ↑ ↗
← N 19.823558°
E 33.294068°		 ← 574.59 m → N 19.823558°
E 33.299560°		 →
↑
574.60 m
↓
↑
574.60 m
↓
N 19.818390°
E 33.294068°		 ← 574.61 m →
330 167 m²		 N 19.818390°
E 33.299560°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38829 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29085 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592491149902344 y=0.443809509277344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592491149902344 × 216)
    floor (0.592491149902344 × 65536)
    floor (38829.5)     		tx = 38829
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.443809509277344 × 216)
    floor (0.443809509277344 × 65536)
    floor (29085.5)     		ty = 29085
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38829 / 29085 ti = "16/38829/29085"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38829/29085.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38829 ÷ 216
    38829 ÷ 65536     		x = 0.592483520507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29085 ÷ 216
    29085 ÷ 65536     		y = 0.443801879882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592483520507812 × 2 - 1) × π
    0.184967041015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.58109110
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.443801879882812 × 2 - 1) × π
    0.112396240234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.353103202601334
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58109110} λ = 0.58109110}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.353103202601334))-π/2
    2×atan(1.42347804249022)-π/2
    2×0.958391340143574-π/2
    1.91678268028715-1.57079632675     		φ = 0.34598635
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58109110} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.294068°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34598635 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.823558°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38829 KachelY 29085 0.58109110 0.34598635 33.294068 19.823558
    Oben rechts KachelX + 1 38830 KachelY 29085 0.58118697 0.34598635 33.299560 19.823558
    Unten links KachelX 38829 KachelY + 1 29086 0.58109110 0.34589616 33.294068 19.818390
    Unten rechts KachelX + 1 38830 KachelY + 1 29086 0.58118697 0.34589616 33.299560 19.818390
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34598635-0.34589616) × R
    9.018999999999e-05 × 6371000     		dl = 574.600489999936m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34598635-0.34589616) × R
    9.018999999999e-05 × 6371000     		dr = 574.600489999936m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58109110-0.58118697) × cos(0.34598635) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.940741414588318 × 6371000     		do = 574.593350763032m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58109110-0.58118697) × cos(0.34589616) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.940771996422683 × 6371000     		du = 574.612029773446m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34598635)-sin(0.34589616))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.940741414588318-0.940771996422683)×R²
    abs(0.58118697-0.58109110)×3.05818343652176e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.05818343652176e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.05818343652176e-05×40589641000000     		ar = 330166.987607309m²