Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38829 / 28589
↖ ↑ ↗
← N 22.365316°
E 33.294068°		 ← 564.84 m → N 22.365316°
E 33.299560°		 →
↑
564.85 m
↓
↑
564.85 m
↓
N 22.360237°
E 33.294068°		 ← 564.86 m →
319 059 m²		 N 22.360237°
E 33.299560°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38829 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28589 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592491149902344 y=0.436241149902344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592491149902344 × 216)
    floor (0.592491149902344 × 65536)
    floor (38829.5)     		tx = 38829
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.436241149902344 × 216)
    floor (0.436241149902344 × 65536)
    floor (28589.5)     		ty = 28589
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38829 / 28589 ti = "16/38829/28589"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38829/28589.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38829 ÷ 216
    38829 ÷ 65536     		x = 0.592483520507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28589 ÷ 216
    28589 ÷ 65536     		y = 0.436233520507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592483520507812 × 2 - 1) × π
    0.184967041015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.58109110
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.436233520507812 × 2 - 1) × π
    0.127532958984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.400656607024429
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58109110} λ = 0.58109110}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.400656607024429))-π/2
    2×atan(1.49280456187462)-π/2
    2×0.980572368872802-π/2
    1.9611447377456-1.57079632675     		φ = 0.39034841
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58109110} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.294068°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39034841 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.365316°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38829 KachelY 28589 0.58109110 0.39034841 33.294068 22.365316
    Oben rechts KachelX + 1 38830 KachelY 28589 0.58118697 0.39034841 33.299560 22.365316
    Unten links KachelX 38829 KachelY + 1 28590 0.58109110 0.39025975 33.294068 22.360237
    Unten rechts KachelX + 1 38830 KachelY + 1 28590 0.58118697 0.39025975 33.299560 22.360237
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39034841-0.39025975) × R
    8.86599999999627e-05 × 6371000     		dl = 564.852859999762m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39034841-0.39025975) × R
    8.86599999999627e-05 × 6371000     		dr = 564.852859999762m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58109110-0.58118697) × cos(0.39034841) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.924776542277143 × 6371000     		do = 564.842202005755m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58109110-0.58118697) × cos(0.39025975) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.924810274715759 × 6371000     		du = 564.862805366714m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39034841)-sin(0.39025975))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.924776542277143-0.924810274715759)×R²
    abs(0.58118697-0.58109110)×3.37324386160409e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.37324386160409e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.37324386160409e-05×40589641000000     		ar = 319058.552394151m²