Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38828 / 29157
↖ ↑ ↗
← N 19.451054°
E 33.288574°		 ← 575.99 m → N 19.451054°
E 33.294068°		 →
↑
576 m
↓
↑
576 m
↓
N 19.445874°
E 33.288574°		 ← 576.01 m →
331 776 m²		 N 19.445874°
E 33.294068°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38828 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29157 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592475891113281 y=0.444908142089844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592475891113281 × 216)
    floor (0.592475891113281 × 65536)
    floor (38828.5)     		tx = 38828
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.444908142089844 × 216)
    floor (0.444908142089844 × 65536)
    floor (29157.5)     		ty = 29157
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38828 / 29157 ti = "16/38828/29157"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38828/29157.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38828 ÷ 216
    38828 ÷ 65536     		x = 0.59246826171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29157 ÷ 216
    29157 ÷ 65536     		y = 0.444900512695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59246826171875 × 2 - 1) × π
    0.1849365234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.58099522
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.444900512695312 × 2 - 1) × π
    0.110198974609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.346200289056046
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58099522} λ = 0.58099522}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.346200289056046))-π/2
    2×atan(1.41368573324513)-π/2
    2×0.955140631294444-π/2
    1.91028126258889-1.57079632675     		φ = 0.33948494
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58099522} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.288574°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33948494 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.451054°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38828 KachelY 29157 0.58099522 0.33948494 33.288574 19.451054
    Oben rechts KachelX + 1 38829 KachelY 29157 0.58109110 0.33948494 33.294068 19.451054
    Unten links KachelX 38828 KachelY + 1 29158 0.58099522 0.33939453 33.288574 19.445874
    Unten rechts KachelX + 1 38829 KachelY + 1 29158 0.58109110 0.33939453 33.294068 19.445874
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33948494-0.33939453) × R
    9.04099999999852e-05 × 6371000     		dl = 576.002109999906m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33948494-0.33939453) × R
    9.04099999999852e-05 × 6371000     		dr = 576.002109999906m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58099522-0.58109110) × cos(0.33948494) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.942926306332247 × 6371000     		do = 575.987929753608m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58099522-0.58109110) × cos(0.33939453) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.942956409141628 × 6371000     		du = 576.006318099272m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33948494)-sin(0.33939453))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.942926306332247-0.942956409141628)×R²
    abs(0.58109110-0.58099522)×3.01028093818712e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.01028093818712e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.01028093818712e-05×40589641000000     		ar = 331775.558961598m²