Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38827 / 41819
↖ ↑ ↗
← S 44.445546°
E 33.283081°		 ← 436.05 m → S 44.445546°
E 33.288574°		 →
↑
436.03 m
↓
↑
436.03 m
↓
S 44.449468°
E 33.283081°		 ← 436.02 m →
190 126 m²		 S 44.449468°
E 33.288574°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38827 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41819 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592460632324219 y=0.638114929199219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592460632324219 × 216)
    floor (0.592460632324219 × 65536)
    floor (38827.5)     		tx = 38827
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.638114929199219 × 216)
    floor (0.638114929199219 × 65536)
    floor (41819.5)     		ty = 41819
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38827 / 41819 ti = "16/38827/41819"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38827/41819.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38827 ÷ 216
    38827 ÷ 65536     		x = 0.592453002929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41819 ÷ 216
    41819 ÷ 65536     		y = 0.638107299804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592453002929688 × 2 - 1) × π
    0.184906005859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.58089935
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.638107299804688 × 2 - 1) × π
    -0.276214599609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.867753756922257
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58089935} λ = 0.58089935}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.867753756922257))-π/2
    2×atan(0.419893673989504)-π/2
    2×0.397537605559391-π/2
    0.795075211118781-1.57079632675     		φ = -0.77572112
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58089935} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.283081°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77572112 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.445546°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38827 KachelY 41819 0.58089935 -0.77572112 33.283081 -44.445546
    Oben rechts KachelX + 1 38828 KachelY 41819 0.58099522 -0.77572112 33.288574 -44.445546
    Unten links KachelX 38827 KachelY + 1 41820 0.58089935 -0.77578956 33.283081 -44.449468
    Unten rechts KachelX + 1 38828 KachelY + 1 41820 0.58099522 -0.77578956 33.288574 -44.449468
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77572112--0.77578956) × R
    6.84399999999474e-05 × 6371000     		dl = 436.031239999665m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77572112--0.77578956) × R
    6.84399999999474e-05 × 6371000     		dr = 436.031239999665m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58089935-0.58099522) × cos(-0.77572112) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.713916269088928 × 6371000     		do = 436.051325963536m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58089935-0.58099522) × cos(-0.77578956) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.713868343602074 × 6371000     		du = 436.022053662295m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77572112)-sin(-0.77578956))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.713916269088928-0.713868343602074)×R²
    abs(0.58099522-0.58089935)×4.79254868535062e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79254868535062e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79254868535062e-05×40589641000000     		ar = 190125.618618439m²