Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 38827 / 30120
↖ ↑ ↗
← N 14.392118°
E 33.283081°		 ← 591.62 m → N 14.392118°
E 33.288574°		 →
↑
591.67 m
↓
↑
591.67 m
↓
N 14.386797°
E 33.283081°		 ← 591.63 m →
350 051 m²		 N 14.386797°
E 33.288574°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38827 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30120 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592460632324219 y=0.459602355957031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592460632324219 × 216)
    floor (0.592460632324219 × 65536)
    floor (38827.5)     		tx = 38827
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.459602355957031 × 216)
    floor (0.459602355957031 × 65536)
    floor (30120.5)     		ty = 30120
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38827 / 30120 ti = "16/38827/30120"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38827/30120.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38827 ÷ 216
    38827 ÷ 65536     		x = 0.592453002929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30120 ÷ 216
    30120 ÷ 65536     		y = 0.4595947265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592453002929688 × 2 - 1) × π
    0.184906005859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.58089935
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4595947265625 × 2 - 1) × π
    0.080810546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.253873820387817
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58089935} λ = 0.58089935}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.253873820387817))-π/2
    2×atan(1.28900914733172)-π/2
    2×0.910993086841791-π/2
    1.82198617368358-1.57079632675     		φ = 0.25118985
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58089935} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.283081°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.25118985 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.392118°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38827 KachelY 30120 0.58089935 0.25118985 33.283081 14.392118
    Oben rechts KachelX + 1 38828 KachelY 30120 0.58099522 0.25118985 33.288574 14.392118
    Unten links KachelX 38827 KachelY + 1 30121 0.58089935 0.25109698 33.283081 14.386797
    Unten rechts KachelX + 1 38828 KachelY + 1 30121 0.58099522 0.25109698 33.288574 14.386797
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.25118985-0.25109698) × R
    9.28699999999671e-05 × 6371000     		dl = 591.674769999791m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.25118985-0.25109698) × R
    9.28699999999671e-05 × 6371000     		dr = 591.674769999791m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58089935-0.58099522) × cos(0.25118985) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.968617362313766 × 6371000     		do = 591.619638710894m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58089935-0.58099522) × cos(0.25109698) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.968640441592205 × 6371000     		du = 591.633735251905m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.25118985)-sin(0.25109698))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.968617362313766-0.968640441592205)×R²
    abs(0.58099522-0.58089935)×2.30792784392531e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.30792784392531e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.30792784392531e-05×40589641000000     		ar = 350050.58419712m²