Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38825 / 30116
↖ ↑ ↗
← N 14.413400°
E 33.272095°		 ← 591.62 m → N 14.413400°
E 33.277588°		 →
↑
591.61 m
↓
↑
591.61 m
↓
N 14.408080°
E 33.272095°		 ← 591.64 m →
350 016 m²		 N 14.408080°
E 33.277588°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38825 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30116 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592430114746094 y=0.459541320800781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592430114746094 × 216)
    floor (0.592430114746094 × 65536)
    floor (38825.5)     		tx = 38825
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.459541320800781 × 216)
    floor (0.459541320800781 × 65536)
    floor (30116.5)     		ty = 30116
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38825 / 30116 ti = "16/38825/30116"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38825/30116.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38825 ÷ 216
    38825 ÷ 65536     		x = 0.592422485351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30116 ÷ 216
    30116 ÷ 65536     		y = 0.45953369140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592422485351562 × 2 - 1) × π
    0.184844970703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.58070760
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.45953369140625 × 2 - 1) × π
    0.0809326171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.254257315584778
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58070760} λ = 0.58070760}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.254257315584778))-π/2
    2×atan(1.28950357094704)-π/2
    2×0.9111788080391-π/2
    1.8223576160782-1.57079632675     		φ = 0.25156129
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58070760} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.272095°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.25156129 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.413400°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38825 KachelY 30116 0.58070760 0.25156129 33.272095 14.413400
    Oben rechts KachelX + 1 38826 KachelY 30116 0.58080348 0.25156129 33.277588 14.413400
    Unten links KachelX 38825 KachelY + 1 30117 0.58070760 0.25146843 33.272095 14.408080
    Unten rechts KachelX + 1 38826 KachelY + 1 30117 0.58080348 0.25146843 33.277588 14.408080
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.25156129-0.25146843) × R
    9.28599999999724e-05 × 6371000     		dl = 591.611059999824m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.25156129-0.25146843) × R
    9.28599999999724e-05 × 6371000     		dr = 591.611059999824m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58070760-0.58080348) × cos(0.25156129) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.96852497161699 × 6371000     		do = 591.624912329493m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58070760-0.58080348) × cos(0.25146843) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.968548081819039 × 6371000     		du = 591.639029230618m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.25156129)-sin(0.25146843))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.96852497161699-0.968548081819039)×R²
    abs(0.58080348-0.58070760)×2.3110202048704e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.3110202048704e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.3110202048704e-05×40589641000000     		ar = 350016.017614454m²