Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 38825 / 28679
↖ ↑ ↗
← N 21.907375°
E 33.272095°		 ← 566.74 m → N 21.907375°
E 33.277588°		 →
↑
566.76 m
↓
↑
566.76 m
↓
N 21.902278°
E 33.272095°		 ← 566.76 m →
321 214 m²		 N 21.902278°
E 33.277588°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38825 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28679 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592430114746094 y=0.437614440917969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592430114746094 × 216)
    floor (0.592430114746094 × 65536)
    floor (38825.5)     		tx = 38825
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.437614440917969 × 216)
    floor (0.437614440917969 × 65536)
    floor (28679.5)     		ty = 28679
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38825 / 28679 ti = "16/38825/28679"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38825/28679.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38825 ÷ 216
    38825 ÷ 65536     		x = 0.592422485351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28679 ÷ 216
    28679 ÷ 65536     		y = 0.437606811523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592422485351562 × 2 - 1) × π
    0.184844970703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.58070760
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.437606811523438 × 2 - 1) × π
    0.124786376953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.392027965092819
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58070760} λ = 0.58070760}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.392027965092819))-π/2
    2×atan(1.47997909857645)-π/2
    2×0.976576071582034-π/2
    1.95315214316407-1.57079632675     		φ = 0.38235582
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58070760} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.272095°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38235582 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.907375°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38825 KachelY 28679 0.58070760 0.38235582 33.272095 21.907375
    Oben rechts KachelX + 1 38826 KachelY 28679 0.58080348 0.38235582 33.277588 21.907375
    Unten links KachelX 38825 KachelY + 1 28680 0.58070760 0.38226686 33.272095 21.902278
    Unten rechts KachelX + 1 38826 KachelY + 1 28680 0.58080348 0.38226686 33.277588 21.902278
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38235582-0.38226686) × R
    8.89600000000268e-05 × 6371000     		dl = 566.764160000171m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38235582-0.38226686) × R
    8.89600000000268e-05 × 6371000     		dr = 566.764160000171m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58070760-0.58080348) × cos(0.38235582) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.927788237533419 × 6371000     		do = 566.740818024165m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58070760-0.58080348) × cos(0.38226686) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.927821425479114 × 6371000     		du = 566.761090929911m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38235582)-sin(0.38226686))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.927788237533419-0.927821425479114)×R²
    abs(0.58080348-0.58070760)×3.31879456946238e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.31879456946238e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.31879456946238e-05×40589641000000     		ar = 321214.12885527m²