Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38824 / 28520
↖ ↑ ↗
← N 22.715390°
E 33.266602°		 ← 563.41 m → N 22.715390°
E 33.272095°		 →
↑
563.45 m
↓
↑
563.45 m
↓
N 22.710323°
E 33.266602°		 ← 563.43 m →
317 461 m²		 N 22.710323°
E 33.272095°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38824 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28520 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592414855957031 y=0.435188293457031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592414855957031 × 216)
    floor (0.592414855957031 × 65536)
    floor (38824.5)     		tx = 38824
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.435188293457031 × 216)
    floor (0.435188293457031 × 65536)
    floor (28520.5)     		ty = 28520
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38824 / 28520 ti = "16/38824/28520"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38824/28520.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38824 ÷ 216
    38824 ÷ 65536     		x = 0.5924072265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28520 ÷ 216
    28520 ÷ 65536     		y = 0.4351806640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5924072265625 × 2 - 1) × π
    0.184814453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.58061173
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4351806640625 × 2 - 1) × π
    0.129638671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.407271899171997
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58061173} λ = 0.58061173}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.407271899171997))-π/2
    2×atan(1.50271263644144)-π/2
    2×0.983627336748115-π/2
    1.96725467349623-1.57079632675     		φ = 0.39645835
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58061173} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.266602°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39645835 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.715390°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38824 KachelY 28520 0.58061173 0.39645835 33.266602 22.715390
    Oben rechts KachelX + 1 38825 KachelY 28520 0.58070760 0.39645835 33.272095 22.715390
    Unten links KachelX 38824 KachelY + 1 28521 0.58061173 0.39636991 33.266602 22.710323
    Unten rechts KachelX + 1 38825 KachelY + 1 28521 0.58070760 0.39636991 33.272095 22.710323
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39645835-0.39636991) × R
    8.84400000000229e-05 × 6371000     		dl = 563.451240000146m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39645835-0.39636991) × R
    8.84400000000229e-05 × 6371000     		dr = 563.451240000146m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58061173-0.58070760) × cos(0.39645835) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.922434398032567 × 6371000     		do = 563.411648945591m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58061173-0.58070760) × cos(0.39636991) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.922468545869879 × 6371000     		du = 563.432506026994m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39645835)-sin(0.39636991))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.922434398032567-0.922468545869879)×R²
    abs(0.58070760-0.58061173)×3.41478373120374e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.41478373120374e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.41478373120374e-05×40589641000000     		ar = 317460.868410072m²