Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38822 / 30030
↖ ↑ ↗
← N 14.870469°
E 33.255615°		 ← 590.33 m → N 14.870469°
E 33.261108°		 →
↑
590.40 m
↓
↑
590.40 m
↓
N 14.865160°
E 33.255615°		 ← 590.35 m →
348 536 m²		 N 14.865160°
E 33.261108°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38822 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30030 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592384338378906 y=0.458229064941406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592384338378906 × 216)
    floor (0.592384338378906 × 65536)
    floor (38822.5)     		tx = 38822
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.458229064941406 × 216)
    floor (0.458229064941406 × 65536)
    floor (30030.5)     		ty = 30030
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38822 / 30030 ti = "16/38822/30030"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38822/30030.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38822 ÷ 216
    38822 ÷ 65536     		x = 0.592376708984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30030 ÷ 216
    30030 ÷ 65536     		y = 0.458221435546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592376708984375 × 2 - 1) × π
    0.18475341796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.58041998
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.458221435546875 × 2 - 1) × π
    0.08355712890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.262502462319427
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58041998} λ = 0.58041998}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.262502462319427))-π/2
    2×atan(1.30017966962221)-π/2
    2×0.915167486435416-π/2
    1.83033497287083-1.57079632675     		φ = 0.25953865
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58041998} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.255615°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.25953865 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.870469°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38822 KachelY 30030 0.58041998 0.25953865 33.255615 14.870469
    Oben rechts KachelX + 1 38823 KachelY 30030 0.58051585 0.25953865 33.261108 14.870469
    Unten links KachelX 38822 KachelY + 1 30031 0.58041998 0.25944598 33.255615 14.865160
    Unten rechts KachelX + 1 38823 KachelY + 1 30031 0.58051585 0.25944598 33.261108 14.865160
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.25953865-0.25944598) × R
    9.26699999999614e-05 × 6371000     		dl = 590.400569999754m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.25953865-0.25944598) × R
    9.26699999999614e-05 × 6371000     		dr = 590.400569999754m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58041998-0.58051585) × cos(0.25953865) × R
    9.58700000001089e-05 × 0.966508479397855 × 6371000     		do = 590.331558818177m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58041998-0.58051585) × cos(0.25944598) × R
    9.58700000001089e-05 × 0.966532257583609 × 6371000     		du = 590.346082243229m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.25953865)-sin(0.25944598))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.966508479397855-0.966532257583609)×R²
    abs(0.58051585-0.58041998)×2.37781857544972e-05×R²
    9.58700000001089e-05×2.37781857544972e-05×6371000²
    9.58700000001089e-05×2.37781857544972e-05×40589641000000     		ar = 348536.376383851m²