Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38822 / 28754
↖ ↑ ↗
← N 21.524627°
E 33.255615°		 ← 568.19 m → N 21.524627°
E 33.261108°		 →
↑
568.23 m
↓
↑
568.23 m
↓
N 21.519517°
E 33.255615°		 ← 568.21 m →
322 869 m²		 N 21.519517°
E 33.261108°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38822 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28754 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592384338378906 y=0.438758850097656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592384338378906 × 216)
    floor (0.592384338378906 × 65536)
    floor (38822.5)     		tx = 38822
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.438758850097656 × 216)
    floor (0.438758850097656 × 65536)
    floor (28754.5)     		ty = 28754
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38822 / 28754 ti = "16/38822/28754"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38822/28754.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38822 ÷ 216
    38822 ÷ 65536     		x = 0.592376708984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28754 ÷ 216
    28754 ÷ 65536     		y = 0.438751220703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592376708984375 × 2 - 1) × π
    0.18475341796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.58041998
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.438751220703125 × 2 - 1) × π
    0.12249755859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.384837430149811
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58041998} λ = 0.58041998}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.384837430149811))-π/2
    2×atan(1.46937542588021)-π/2
    2×0.973235971023788-π/2
    1.94647194204758-1.57079632675     		φ = 0.37567562
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58041998} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.255615°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37567562 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.524627°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38822 KachelY 28754 0.58041998 0.37567562 33.255615 21.524627
    Oben rechts KachelX + 1 38823 KachelY 28754 0.58051585 0.37567562 33.261108 21.524627
    Unten links KachelX 38822 KachelY + 1 28755 0.58041998 0.37558643 33.255615 21.519517
    Unten rechts KachelX + 1 38823 KachelY + 1 28755 0.58051585 0.37558643 33.261108 21.519517
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37567562-0.37558643) × R
    8.91899999999612e-05 × 6371000     		dl = 568.229489999753m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37567562-0.37558643) × R
    8.91899999999612e-05 × 6371000     		dr = 568.229489999753m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58041998-0.58051585) × cos(0.37567562) × R
    9.58700000001089e-05 × 0.930259948514183 × 6371000     		do = 568.191399473938m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58041998-0.58051585) × cos(0.37558643) × R
    9.58700000001089e-05 × 0.930292668724545 × 6371000     		du = 568.211384578259m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37567562)-sin(0.37558643))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.930259948514183-0.930292668724545)×R²
    abs(0.58051585-0.58041998)×3.27202103617141e-05×R²
    9.58700000001089e-05×3.27202103617141e-05×6371000²
    9.58700000001089e-05×3.27202103617141e-05×40589641000000     		ar = 322868.787422235m²