Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 38821 / 30027
↖ ↑ ↗
← N 14.886396°
E 33.250122°		 ← 590.29 m → N 14.886396°
E 33.255615°		 →
↑
590.27 m
↓
↑
590.27 m
↓
N 14.881087°
E 33.250122°		 ← 590.30 m →
348 435 m²		 N 14.881087°
E 33.255615°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38821 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30027 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592369079589844 y=0.458183288574219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592369079589844 × 216)
    floor (0.592369079589844 × 65536)
    floor (38821.5)     		tx = 38821
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.458183288574219 × 216)
    floor (0.458183288574219 × 65536)
    floor (30027.5)     		ty = 30027
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38821 / 30027 ti = "16/38821/30027"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38821/30027.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38821 ÷ 216
    38821 ÷ 65536     		x = 0.592361450195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30027 ÷ 216
    30027 ÷ 65536     		y = 0.458175659179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592361450195312 × 2 - 1) × π
    0.184722900390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.58032411
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.458175659179688 × 2 - 1) × π
    0.083648681640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.262790083717148
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58032411} λ = 0.58032411}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.262790083717148))-π/2
    2×atan(1.30055368290061)-π/2
    2×0.915306475563939-π/2
    1.83061295112788-1.57079632675     		φ = 0.25981662
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58032411} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.250122°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.25981662 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.886396°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38821 KachelY 30027 0.58032411 0.25981662 33.250122 14.886396
    Oben rechts KachelX + 1 38822 KachelY 30027 0.58041998 0.25981662 33.255615 14.886396
    Unten links KachelX 38821 KachelY + 1 30028 0.58032411 0.25972397 33.250122 14.881087
    Unten rechts KachelX + 1 38822 KachelY + 1 30028 0.58041998 0.25972397 33.255615 14.881087
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.25981662-0.25972397) × R
    9.26499999999719e-05 × 6371000     		dl = 590.273149999821m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.25981662-0.25972397) × R
    9.26499999999719e-05 × 6371000     		dr = 590.273149999821m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58032411-0.58041998) × cos(0.25981662) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.966437105316866 × 6371000     		do = 590.287964401731m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58032411-0.58041998) × cos(0.25972397) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.966460903262487 × 6371000     		du = 590.302499895868m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.25981662)-sin(0.25972397))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.966437105316866-0.966460903262487)×R²
    abs(0.58041998-0.58032411)×2.37979456219062e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.37979456219062e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.37979456219062e-05×40589641000000     		ar = 348435.42635968m²