Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38821 / 29027
↖ ↑ ↗
← N 20.122997°
E 33.250122°		 ← 573.50 m → N 20.122997°
E 33.255615°		 →
↑
573.52 m
↓
↑
573.52 m
↓
N 20.117840°
E 33.250122°		 ← 573.52 m →
328 919 m²		 N 20.117840°
E 33.255615°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38821 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29027 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592369079589844 y=0.442924499511719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592369079589844 × 216)
    floor (0.592369079589844 × 65536)
    floor (38821.5)     		tx = 38821
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.442924499511719 × 216)
    floor (0.442924499511719 × 65536)
    floor (29027.5)     		ty = 29027
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38821 / 29027 ti = "16/38821/29027"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38821/29027.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38821 ÷ 216
    38821 ÷ 65536     		x = 0.592361450195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29027 ÷ 216
    29027 ÷ 65536     		y = 0.442916870117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592361450195312 × 2 - 1) × π
    0.184722900390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.58032411
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.442916870117188 × 2 - 1) × π
    0.114166259765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.35866388295726
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58032411} λ = 0.58032411}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.35866388295726))-π/2
    2×atan(1.43141559752818)-π/2
    2×0.961004444755935-π/2
    1.92200888951187-1.57079632675     		φ = 0.35121256
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58032411} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.250122°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35121256 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.122997°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38821 KachelY 29027 0.58032411 0.35121256 33.250122 20.122997
    Oben rechts KachelX + 1 38822 KachelY 29027 0.58041998 0.35121256 33.255615 20.122997
    Unten links KachelX 38821 KachelY + 1 29028 0.58032411 0.35112254 33.250122 20.117840
    Unten rechts KachelX + 1 38822 KachelY + 1 29028 0.58041998 0.35112254 33.255615 20.117840
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35121256-0.35112254) × R
    9.0020000000024e-05 × 6371000     		dl = 573.517420000153m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35121256-0.35112254) × R
    9.0020000000024e-05 × 6371000     		dr = 573.517420000153m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58032411-0.58041998) × cos(0.35121256) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.93895623820327 × 6371000     		do = 573.502986859751m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58032411-0.58041998) × cos(0.35112254) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.938987204573575 × 6371000     		du = 573.521900740015m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35121256)-sin(0.35112254))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.93895623820327-0.938987204573575)×R²
    abs(0.58041998-0.58032411)×3.09663703055296e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.09663703055296e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.09663703055296e-05×40589641000000     		ar = 328919.377328314m²