Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38820 / 28523
↖ ↑ ↗
← N 22.700188°
E 33.244629°		 ← 563.53 m → N 22.700188°
E 33.250122°		 →
↑
563.51 m
↓
↑
563.51 m
↓
N 22.695120°
E 33.244629°		 ← 563.55 m →
317 565 m²		 N 22.695120°
E 33.250122°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38820 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28523 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592353820800781 y=0.435234069824219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592353820800781 × 216)
    floor (0.592353820800781 × 65536)
    floor (38820.5)     		tx = 38820
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.435234069824219 × 216)
    floor (0.435234069824219 × 65536)
    floor (28523.5)     		ty = 28523
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38820 / 28523 ti = "16/38820/28523"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38820/28523.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38820 ÷ 216
    38820 ÷ 65536     		x = 0.59234619140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28523 ÷ 216
    28523 ÷ 65536     		y = 0.435226440429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59234619140625 × 2 - 1) × π
    0.1846923828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.58022823
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.435226440429688 × 2 - 1) × π
    0.129547119140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.406984277774277
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58022823} λ = 0.58022823}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.406984277774277))-π/2
    2×atan(1.50228048628337)-π/2
    2×0.983494673446993-π/2
    1.96698934689399-1.57079632675     		φ = 0.39619302
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58022823} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.244629°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39619302 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.700188°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38820 KachelY 28523 0.58022823 0.39619302 33.244629 22.700188
    Oben rechts KachelX + 1 38821 KachelY 28523 0.58032411 0.39619302 33.250122 22.700188
    Unten links KachelX 38820 KachelY + 1 28524 0.58022823 0.39610457 33.244629 22.695120
    Unten rechts KachelX + 1 38821 KachelY + 1 28524 0.58032411 0.39610457 33.250122 22.695120
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39619302-0.39610457) × R
    8.84500000000177e-05 × 6371000     		dl = 563.514950000113m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39619302-0.39610457) × R
    8.84500000000177e-05 × 6371000     		dr = 563.514950000113m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58022823-0.58032411) × cos(0.39619302) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.922536823757694 × 6371000     		do = 563.532984146517m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58022823-0.58032411) × cos(0.39610457) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.922570953806031 × 6371000     		du = 563.553832537056m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39619302)-sin(0.39610457))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.922536823757694-0.922570953806031)×R²
    abs(0.58032411-0.58022823)×3.41300483369666e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.41300483369666e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.41300483369666e-05×40589641000000     		ar = 317565.135781608m²