Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3882 / 2188
↖ ↑ ↗
← N 63.937372°
W  9.404297°		 ← 2 146.90 m → N 63.937372°
W  9.360351°		 →
↑
2 147.60 m
↓
↑
2 147.60 m
↓
N 63.918058°
W  9.404297°		 ← 2 148.38 m →
4 612 266 m²		 N 63.918058°
W  9.360351°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3882 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2188 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.47393798828125 y=0.26715087890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.47393798828125 × 213)
    floor (0.47393798828125 × 8192)
    floor (3882.5)     		tx = 3882
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.26715087890625 × 213)
    floor (0.26715087890625 × 8192)
    floor (2188.5)     		ty = 2188
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3882 / 2188 ti = "13/3882/2188"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3882/2188.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3882 ÷ 213
    3882 ÷ 8192     		x = 0.473876953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2188 ÷ 213
    2188 ÷ 8192     		y = 0.26708984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.473876953125 × 2 - 1) × π
    -0.05224609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.16413594
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.26708984375 × 2 - 1) × π
    0.4658203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.46341767160107
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16413594} λ = -0.16413594}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.46341767160107))-π/2
    2×atan(4.32070106044941)-π/2
    2×1.3433569957078-π/2
    2.68671399141561-1.57079632675     		φ = 1.11591766
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16413594} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.404297°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11591766 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.937372°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3882 KachelY 2188 -0.16413594 1.11591766 -9.404297 63.937372
    Oben rechts KachelX + 1 3883 KachelY 2188 -0.16336895 1.11591766 -9.360351 63.937372
    Unten links KachelX 3882 KachelY + 1 2189 -0.16413594 1.11558057 -9.404297 63.918058
    Unten rechts KachelX + 1 3883 KachelY + 1 2189 -0.16336895 1.11558057 -9.360351 63.918058
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11591766-1.11558057) × R
    0.000337089999999929 × 6371000     		dl = 2147.60038999955m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11591766-1.11558057) × R
    0.000337089999999929 × 6371000     		dr = 2147.60038999955m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16413594--0.16336895) × cos(1.11591766) × R
    0.000766989999999995 × 0.439353321681726 × 6371000     		do = 2146.89705833695m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16413594--0.16336895) × cos(1.11558057) × R
    0.000766989999999995 × 0.439656109496066 × 6371000     		du = 2148.37662896002m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11591766)-sin(1.11558057))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.439353321681726-0.439656109496066)×R²
    abs(-0.16336895--0.16413594)×0.000302787814340122×R²
    0.000766989999999995×0.000302787814340122×6371000²
    0.000766989999999995×0.000302787814340122×40589641000000     		ar = 4612265.76667336m²