Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3882 / 2154
↖ ↑ ↗
← N 64.586185°
W  9.404297°		 ← 2 097.05 m → N 64.586185°
W  9.360351°		 →
↑
2 097.78 m
↓
↑
2 097.78 m
↓
N 64.567319°
W  9.404297°		 ← 2 098.51 m →
4 400 678 m²		 N 64.567319°
W  9.360351°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3882 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2154 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.47393798828125 y=0.26300048828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.47393798828125 × 213)
    floor (0.47393798828125 × 8192)
    floor (3882.5)     		tx = 3882
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.26300048828125 × 213)
    floor (0.26300048828125 × 8192)
    floor (2154.5)     		ty = 2154
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3882 / 2154 ti = "13/3882/2154"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3882/2154.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3882 ÷ 213
    3882 ÷ 8192     		x = 0.473876953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2154 ÷ 213
    2154 ÷ 8192     		y = 0.262939453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.473876953125 × 2 - 1) × π
    -0.05224609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.16413594
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.262939453125 × 2 - 1) × π
    0.47412109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.48949534499438
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16413594} λ = -0.16413594}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.48949534499438))-π/2
    2×atan(4.43485688145694)-π/2
    2×1.34901895144874-π/2
    2.69803790289748-1.57079632675     		φ = 1.12724158
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16413594} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.404297°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12724158 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.586185°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3882 KachelY 2154 -0.16413594 1.12724158 -9.404297 64.586185
    Oben rechts KachelX + 1 3883 KachelY 2154 -0.16336895 1.12724158 -9.360351 64.586185
    Unten links KachelX 3882 KachelY + 1 2155 -0.16413594 1.12691231 -9.404297 64.567319
    Unten rechts KachelX + 1 3883 KachelY + 1 2155 -0.16336895 1.12691231 -9.360351 64.567319
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12724158-1.12691231) × R
    0.000329269999999937 × 6371000     		dl = 2097.7791699996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12724158-1.12691231) × R
    0.000329269999999937 × 6371000     		dr = 2097.7791699996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16413594--0.16336895) × cos(1.12724158) × R
    0.000766989999999995 × 0.429152930237076 × 6371000     		do = 2097.05291398729m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16413594--0.16336895) × cos(1.12691231) × R
    0.000766989999999995 × 0.429450314116585 × 6371000     		du = 2098.50607831907m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12724158)-sin(1.12691231))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.429152930237076-0.429450314116585)×R²
    abs(-0.16336895--0.16413594)×0.000297383879509561×R²
    0.000766989999999995×0.000297383879509561×6371000²
    0.000766989999999995×0.000297383879509561×40589641000000     		ar = 4400678.1700431m²