Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3882 / 1593
↖ ↑ ↗
← N 73.315246°
W  9.404297°		 ← 1 402.94 m → N 73.315246°
W  9.360351°		 →
↑
1 403.47 m
↓
↑
1 403.47 m
↓
N 73.302624°
W  9.404297°		 ← 1 403.97 m →
1 969 704 m²		 N 73.302624°
W  9.360351°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3882 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1593 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.47393798828125 y=0.19451904296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.47393798828125 × 213)
    floor (0.47393798828125 × 8192)
    floor (3882.5)     		tx = 3882
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.19451904296875 × 213)
    floor (0.19451904296875 × 8192)
    floor (1593.5)     		ty = 1593
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3882 / 1593 ti = "13/3882/1593"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3882/1593.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3882 ÷ 213
    3882 ÷ 8192     		x = 0.473876953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1593 ÷ 213
    1593 ÷ 8192     		y = 0.1944580078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.473876953125 × 2 - 1) × π
    -0.05224609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.16413594
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1944580078125 × 2 - 1) × π
    0.611083984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.91977695598401
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16413594} λ = -0.16413594}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.91977695598401))-π/2
    2×atan(6.81943726497492)-π/2
    2×1.42519437881797-π/2
    2.85038875763594-1.57079632675     		φ = 1.27959243
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16413594} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.404297°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27959243 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.315246°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3882 KachelY 1593 -0.16413594 1.27959243 -9.404297 73.315246
    Oben rechts KachelX + 1 3883 KachelY 1593 -0.16336895 1.27959243 -9.360351 73.315246
    Unten links KachelX 3882 KachelY + 1 1594 -0.16413594 1.27937214 -9.404297 73.302624
    Unten rechts KachelX + 1 3883 KachelY + 1 1594 -0.16336895 1.27937214 -9.360351 73.302624
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27959243-1.27937214) × R
    0.000220289999999901 × 6371000     		dl = 1403.46758999937m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27959243-1.27937214) × R
    0.000220289999999901 × 6371000     		dr = 1403.46758999937m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16413594--0.16336895) × cos(1.27959243) × R
    0.000766989999999995 × 0.287105644331718 × 6371000     		do = 1402.93980454806m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16413594--0.16336895) × cos(1.27937214) × R
    0.000766989999999995 × 0.287316652917739 × 6371000     		du = 1403.97089658778m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27959243)-sin(1.27937214))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.287105644331718-0.287316652917739)×R²
    abs(-0.16336895--0.16413594)×0.000211008586020356×R²
    0.000766989999999995×0.000211008586020356×6371000²
    0.000766989999999995×0.000211008586020356×40589641000000     		ar = 1969704.10649815m²