Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38819 / 42161
↖ ↑ ↗
← S 45.771355°
E 33.239136°		 ← 426.04 m → S 45.771355°
E 33.244629°		 →
↑
426.03 m
↓
↑
426.03 m
↓
S 45.775186°
E 33.239136°		 ← 426.01 m →
181 499 m²		 S 45.775186°
E 33.244629°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38819 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42161 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592338562011719 y=0.643333435058594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592338562011719 × 216)
    floor (0.592338562011719 × 65536)
    floor (38819.5)     		tx = 38819
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.643333435058594 × 216)
    floor (0.643333435058594 × 65536)
    floor (42161.5)     		ty = 42161
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38819 / 42161 ti = "16/38819/42161"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38819/42161.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38819 ÷ 216
    38819 ÷ 65536     		x = 0.592330932617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42161 ÷ 216
    42161 ÷ 65536     		y = 0.643325805664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592330932617188 × 2 - 1) × π
    0.184661865234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.58013236
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.643325805664062 × 2 - 1) × π
    -0.286651611328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.900542596262375
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58013236} λ = 0.58013236}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.900542596262375))-π/2
    2×atan(0.406349116401235)-π/2
    2×0.385967742060998-π/2
    0.771935484121995-1.57079632675     		φ = -0.79886084
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58013236} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.239136°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79886084 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.771355°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38819 KachelY 42161 0.58013236 -0.79886084 33.239136 -45.771355
    Oben rechts KachelX + 1 38820 KachelY 42161 0.58022823 -0.79886084 33.244629 -45.771355
    Unten links KachelX 38819 KachelY + 1 42162 0.58013236 -0.79892771 33.239136 -45.775186
    Unten rechts KachelX + 1 38820 KachelY + 1 42162 0.58022823 -0.79892771 33.244629 -45.775186
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79886084--0.79892771) × R
    6.68699999999411e-05 × 6371000     		dl = 426.028769999625m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79886084--0.79892771) × R
    6.68699999999411e-05 × 6371000     		dr = 426.028769999625m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58013236-0.58022823) × cos(-0.79886084) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.697523440481883 × 6371000     		do = 426.038786734648m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58013236-0.58022823) × cos(-0.79892771) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.697475522423784 × 6371000     		du = 426.009518970799m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79886084)-sin(-0.79892771))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.697523440481883-0.697475522423784)×R²
    abs(0.58022823-0.58013236)×4.79180580993388e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79180580993388e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79180580993388e-05×40589641000000     		ar = 181498.545897584m²