Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38816 / 42172
↖ ↑ ↗
← S 45.813486°
E 33.222656°		 ← 425.72 m → S 45.813486°
E 33.228149°		 →
↑
425.71 m
↓
↑
425.71 m
↓
S 45.817315°
E 33.222656°		 ← 425.69 m →
181 226 m²		 S 45.817315°
E 33.228149°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38816 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42172 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592292785644531 y=0.643501281738281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592292785644531 × 216)
    floor (0.592292785644531 × 65536)
    floor (38816.5)     		tx = 38816
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.643501281738281 × 216)
    floor (0.643501281738281 × 65536)
    floor (42172.5)     		ty = 42172
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38816 / 42172 ti = "16/38816/42172"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38816/42172.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38816 ÷ 216
    38816 ÷ 65536     		x = 0.59228515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42172 ÷ 216
    42172 ÷ 65536     		y = 0.64349365234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59228515625 × 2 - 1) × π
    0.1845703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.57984474
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64349365234375 × 2 - 1) × π
    -0.2869873046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.901597208054016
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57984474} λ = 0.57984474}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.901597208054016))-π/2
    2×atan(0.405920801724108)-π/2
    2×0.38560007281287-π/2
    0.77120014562574-1.57079632675     		φ = -0.79959618
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57984474} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.222656°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79959618 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.813486°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38816 KachelY 42172 0.57984474 -0.79959618 33.222656 -45.813486
    Oben rechts KachelX + 1 38817 KachelY 42172 0.57994061 -0.79959618 33.228149 -45.813486
    Unten links KachelX 38816 KachelY + 1 42173 0.57984474 -0.79966300 33.222656 -45.817315
    Unten rechts KachelX + 1 38817 KachelY + 1 42173 0.57994061 -0.79966300 33.228149 -45.817315
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79959618--0.79966300) × R
    6.6820000000023e-05 × 6371000     		dl = 425.710220000146m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79959618--0.79966300) × R
    6.6820000000023e-05 × 6371000     		dr = 425.710220000146m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57984474-0.57994061) × cos(-0.79959618) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.696996335269732 × 6371000     		do = 425.716837317563m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57984474-0.57994061) × cos(-0.79966300) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.696948418783081 × 6371000     		du = 425.687570513535m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79959618)-sin(-0.79966300))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.696996335269732-0.696948418783081)×R²
    abs(0.57994061-0.57984474)×4.79164866513671e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79164866513671e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79164866513671e-05×40589641000000     		ar = 181225.778950923m²