Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38816 / 42171
↖ ↑ ↗
← S 45.809658°
E 33.222656°		 ← 425.75 m → S 45.809658°
E 33.228149°		 →
↑
425.71 m
↓
↑
425.71 m
↓
S 45.813486°
E 33.222656°		 ← 425.72 m →
181 238 m²		 S 45.813486°
E 33.228149°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38816 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42171 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592292785644531 y=0.643486022949219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592292785644531 × 216)
    floor (0.592292785644531 × 65536)
    floor (38816.5)     		tx = 38816
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.643486022949219 × 216)
    floor (0.643486022949219 × 65536)
    floor (42171.5)     		ty = 42171
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38816 / 42171 ti = "16/38816/42171"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38816/42171.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38816 ÷ 216
    38816 ÷ 65536     		x = 0.59228515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42171 ÷ 216
    42171 ÷ 65536     		y = 0.643478393554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59228515625 × 2 - 1) × π
    0.1845703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.57984474
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.643478393554688 × 2 - 1) × π
    -0.286956787109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.901501334254776
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57984474} λ = 0.57984474}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.901501334254776))-π/2
    2×atan(0.405959720759188)-π/2
    2×0.385633485804701-π/2
    0.771266971609401-1.57079632675     		φ = -0.79952936
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57984474} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.222656°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79952936 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.809658°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38816 KachelY 42171 0.57984474 -0.79952936 33.222656 -45.809658
    Oben rechts KachelX + 1 38817 KachelY 42171 0.57994061 -0.79952936 33.228149 -45.809658
    Unten links KachelX 38816 KachelY + 1 42172 0.57984474 -0.79959618 33.222656 -45.813486
    Unten rechts KachelX + 1 38817 KachelY + 1 42172 0.57994061 -0.79959618 33.228149 -45.813486
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79952936--0.79959618) × R
    6.6820000000023e-05 × 6371000     		dl = 425.710220000146m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79952936--0.79959618) × R
    6.6820000000023e-05 × 6371000     		dr = 425.710220000146m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57984474-0.57994061) × cos(-0.79952936) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.697044248644356 × 6371000     		do = 425.746102220802m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57984474-0.57994061) × cos(-0.79959618) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.696996335269732 × 6371000     		du = 425.716837317563m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79952936)-sin(-0.79959618))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.697044248644356-0.696996335269732)×R²
    abs(0.57994061-0.57984474)×4.79133746236204e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79133746236204e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79133746236204e-05×40589641000000     		ar = 181238.237724057m²