Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38816 / 42145
↖ ↑ ↗
← S 45.710015°
E 33.222656°		 ← 426.51 m → S 45.710015°
E 33.228149°		 →
↑
426.47 m
↓
↑
426.47 m
↓
S 45.713851°
E 33.222656°		 ← 426.48 m →
181 888 m²		 S 45.713851°
E 33.228149°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38816 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42145 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592292785644531 y=0.643089294433594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592292785644531 × 216)
    floor (0.592292785644531 × 65536)
    floor (38816.5)     		tx = 38816
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.643089294433594 × 216)
    floor (0.643089294433594 × 65536)
    floor (42145.5)     		ty = 42145
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38816 / 42145 ti = "16/38816/42145"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38816/42145.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38816 ÷ 216
    38816 ÷ 65536     		x = 0.59228515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42145 ÷ 216
    42145 ÷ 65536     		y = 0.643081665039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59228515625 × 2 - 1) × π
    0.1845703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.57984474
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.643081665039062 × 2 - 1) × π
    -0.286163330078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.899008615474533
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57984474} λ = 0.57984474}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.899008615474533))-π/2
    2×atan(0.40697292647296)-π/2
    2×0.386503029873969-π/2
    0.773006059747937-1.57079632675     		φ = -0.79779027
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57984474} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.222656°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79779027 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.710015°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38816 KachelY 42145 0.57984474 -0.79779027 33.222656 -45.710015
    Oben rechts KachelX + 1 38817 KachelY 42145 0.57994061 -0.79779027 33.228149 -45.710015
    Unten links KachelX 38816 KachelY + 1 42146 0.57984474 -0.79785721 33.222656 -45.713851
    Unten rechts KachelX + 1 38817 KachelY + 1 42146 0.57994061 -0.79785721 33.228149 -45.713851
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79779027--0.79785721) × R
    6.69399999999598e-05 × 6371000     		dl = 426.474739999744m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79779027--0.79785721) × R
    6.69399999999598e-05 × 6371000     		dr = 426.474739999744m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57984474-0.57994061) × cos(-0.79779027) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.698290170355647 × 6371000     		do = 426.507095964436m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57984474-0.57994061) × cos(-0.79785721) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.698242252147993 × 6371000     		du = 426.477828109241m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79779027)-sin(-0.79785721))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.698290170355647-0.698242252147993)×R²
    abs(0.57994061-0.57984474)×4.79182076541518e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79182076541518e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79182076541518e-05×40589641000000     		ar = 181888.261926852m²