Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38815 / 41822
↖ ↑ ↗
← S 44.457310°
E 33.217163°		 ← 436.01 m → S 44.457310°
E 33.222656°		 →
↑
435.97 m
↓
↑
435.97 m
↓
S 44.461230°
E 33.217163°		 ← 435.98 m →
190 079 m²		 S 44.461230°
E 33.222656°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38815 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41822 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592277526855469 y=0.638160705566406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592277526855469 × 216)
    floor (0.592277526855469 × 65536)
    floor (38815.5)     		tx = 38815
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.638160705566406 × 216)
    floor (0.638160705566406 × 65536)
    floor (41822.5)     		ty = 41822
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38815 / 41822 ti = "16/38815/41822"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38815/41822.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38815 ÷ 216
    38815 ÷ 65536     		x = 0.592269897460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41822 ÷ 216
    41822 ÷ 65536     		y = 0.638153076171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592269897460938 × 2 - 1) × π
    0.184539794921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.57974886
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.638153076171875 × 2 - 1) × π
    -0.27630615234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.868041378319977
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57974886} λ = 0.57974886}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.868041378319977))-π/2
    2×atan(0.419772920950508)-π/2
    2×0.397434947100219-π/2
    0.794869894200438-1.57079632675     		φ = -0.77592643
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57974886} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.217163°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77592643 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.457310°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38815 KachelY 41822 0.57974886 -0.77592643 33.217163 -44.457310
    Oben rechts KachelX + 1 38816 KachelY 41822 0.57984474 -0.77592643 33.222656 -44.457310
    Unten links KachelX 38815 KachelY + 1 41823 0.57974886 -0.77599486 33.217163 -44.461230
    Unten rechts KachelX + 1 38816 KachelY + 1 41823 0.57984474 -0.77599486 33.222656 -44.461230
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77592643--0.77599486) × R
    6.84300000000082e-05 × 6371000     		dl = 435.967530000052m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77592643--0.77599486) × R
    6.84300000000082e-05 × 6371000     		dr = 435.967530000052m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57974886-0.57984474) × cos(-0.77592643) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.713772489601018 × 6371000     		do = 436.00898165578m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57974886-0.57984474) × cos(-0.77599486) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.713724561088241 × 6371000     		du = 435.979704452817m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77592643)-sin(-0.77599486))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.713772489601018-0.713724561088241)×R²
    abs(0.57984474-0.57974886)×4.79285127766849e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.79285127766849e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.79285127766849e-05×40589641000000     		ar = 190079.376909395m²