Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38812 / 41815
↖ ↑ ↗
← S 44.429858°
E 33.200683°		 ← 436.21 m → S 44.429858°
E 33.206177°		 →
↑
436.16 m
↓
↑
436.16 m
↓
S 44.433780°
E 33.200683°		 ← 436.18 m →
190 252 m²		 S 44.433780°
E 33.206177°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38812 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41815 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592231750488281 y=0.638053894042969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592231750488281 × 216)
    floor (0.592231750488281 × 65536)
    floor (38812.5)     		tx = 38812
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.638053894042969 × 216)
    floor (0.638053894042969 × 65536)
    floor (41815.5)     		ty = 41815
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38812 / 41815 ti = "16/38812/41815"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38812/41815.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38812 ÷ 216
    38812 ÷ 65536     		x = 0.59222412109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41815 ÷ 216
    41815 ÷ 65536     		y = 0.638046264648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59222412109375 × 2 - 1) × π
    0.1844482421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.57946124
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.638046264648438 × 2 - 1) × π
    -0.276092529296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.867370261725296
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57946124} λ = 0.57946124}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.867370261725296))-π/2
    2×atan(0.42005473207724)-π/2
    2×0.397674515670147-π/2
    0.795349031340295-1.57079632675     		φ = -0.77544730
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57946124} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.200683°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77544730 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.429858°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38812 KachelY 41815 0.57946124 -0.77544730 33.200683 -44.429858
    Oben rechts KachelX + 1 38813 KachelY 41815 0.57955712 -0.77544730 33.206177 -44.429858
    Unten links KachelX 38812 KachelY + 1 41816 0.57946124 -0.77551576 33.200683 -44.433780
    Unten rechts KachelX + 1 38813 KachelY + 1 41816 0.57955712 -0.77551576 33.206177 -44.433780
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77544730--0.77551576) × R
    6.84600000000479e-05 × 6371000     		dl = 436.158660000305m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77544730--0.77551576) × R
    6.84600000000479e-05 × 6371000     		dr = 436.158660000305m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57946124-0.57955712) × cos(-0.77544730) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.714107979596155 × 6371000     		do = 436.21391621634m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57946124-0.57955712) × cos(-0.77551576) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.714060053487922 × 6371000     		du = 436.184640482196m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77544730)-sin(-0.77551576))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.714107979596155-0.714060053487922)×R²
    abs(0.57955712-0.57946124)×4.79261082323434e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.79261082323434e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.79261082323434e-05×40589641000000     		ar = 190252.092812057m²