Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38812 / 28700
↖ ↑ ↗
← N 21.800308°
E 33.200683°		 ← 567.17 m → N 21.800308°
E 33.206177°		 →
↑
567.15 m
↓
↑
567.15 m
↓
N 21.795207°
E 33.200683°		 ← 567.19 m →
321 672 m²		 N 21.795207°
E 33.206177°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38812 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28700 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592231750488281 y=0.437934875488281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592231750488281 × 216)
    floor (0.592231750488281 × 65536)
    floor (38812.5)     		tx = 38812
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.437934875488281 × 216)
    floor (0.437934875488281 × 65536)
    floor (28700.5)     		ty = 28700
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38812 / 28700 ti = "16/38812/28700"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38812/28700.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38812 ÷ 216
    38812 ÷ 65536     		x = 0.59222412109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28700 ÷ 216
    28700 ÷ 65536     		y = 0.43792724609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59222412109375 × 2 - 1) × π
    0.1844482421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.57946124
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43792724609375 × 2 - 1) × π
    0.1241455078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.390014615308777
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57946124} λ = 0.57946124}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.390014615308777))-π/2
    2×atan(1.47700238057075)-π/2
    2×0.975641740111523-π/2
    1.95128348022305-1.57079632675     		φ = 0.38048715
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57946124} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.200683°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38048715 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.800308°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38812 KachelY 28700 0.57946124 0.38048715 33.200683 21.800308
    Oben rechts KachelX + 1 38813 KachelY 28700 0.57955712 0.38048715 33.206177 21.800308
    Unten links KachelX 38812 KachelY + 1 28701 0.57946124 0.38039813 33.200683 21.795207
    Unten rechts KachelX + 1 38813 KachelY + 1 28701 0.57955712 0.38039813 33.206177 21.795207
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38048715-0.38039813) × R
    8.90199999999952e-05 × 6371000     		dl = 567.146419999969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38048715-0.38039813) × R
    8.90199999999952e-05 × 6371000     		dr = 567.146419999969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57946124-0.57955712) × cos(0.38048715) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.928483831483904 × 6371000     		do = 567.165722618298m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57946124-0.57955712) × cos(0.38039813) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.928516887413772 × 6371000     		du = 567.185914881981m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38048715)-sin(0.38039813))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.928483831483904-0.928516887413772)×R²
    abs(0.57955712-0.57946124)×3.30559298677979e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.30559298677979e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.30559298677979e-05×40589641000000     		ar = 321671.735327009m²