Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38811 / 41814
↖ ↑ ↗
← S 44.425934°
E 33.195190°		 ← 436.20 m → S 44.425934°
E 33.200683°		 →
↑
436.22 m
↓
↑
436.22 m
↓
S 44.429858°
E 33.195190°		 ← 436.17 m →
190 273 m²		 S 44.429858°
E 33.200683°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38811 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41814 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592216491699219 y=0.638038635253906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592216491699219 × 216)
    floor (0.592216491699219 × 65536)
    floor (38811.5)     		tx = 38811
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.638038635253906 × 216)
    floor (0.638038635253906 × 65536)
    floor (41814.5)     		ty = 41814
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38811 / 41814 ti = "16/38811/41814"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38811/41814.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38811 ÷ 216
    38811 ÷ 65536     		x = 0.592208862304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41814 ÷ 216
    41814 ÷ 65536     		y = 0.638031005859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592208862304688 × 2 - 1) × π
    0.184417724609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.57936537
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.638031005859375 × 2 - 1) × π
    -0.27606201171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.867274387926056
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57936537} λ = 0.57936537}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.867274387926056))-π/2
    2×atan(0.420095006250882)-π/2
    2×0.39770874894158-π/2
    0.79541749788316-1.57079632675     		φ = -0.77537883
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57936537} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.195190°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77537883 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.425934°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38811 KachelY 41814 0.57936537 -0.77537883 33.195190 -44.425934
    Oben rechts KachelX + 1 38812 KachelY 41814 0.57946124 -0.77537883 33.200683 -44.425934
    Unten links KachelX 38811 KachelY + 1 41815 0.57936537 -0.77544730 33.195190 -44.429858
    Unten rechts KachelX + 1 38812 KachelY + 1 41815 0.57946124 -0.77544730 33.200683 -44.429858
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77537883--0.77544730) × R
    6.84699999999872e-05 × 6371000     		dl = 436.222369999918m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77537883--0.77544730) × R
    6.84699999999872e-05 × 6371000     		dr = 436.222369999918m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57936537-0.57946124) × cos(-0.77537883) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.714155909357393 × 6371000     		do = 436.197695308714m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57936537-0.57946124) × cos(-0.77544730) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.714107979596155 × 6371000     		du = 436.168420396731m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77537883)-sin(-0.77544730))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.714155909357393-0.714107979596155)×R²
    abs(0.57946124-0.57936537)×4.79297612379082e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79297612379082e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79297612379082e-05×40589641000000     		ar = 190272.807324758m²