Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 3881 / 4662
↖ ↑ ↗
← S 24.126702°
W  9.448242°		 ← 4 459.63 m → S 24.126702°
W  9.404297°		 →
↑
4 458.94 m
↓
↑
4 458.94 m
↓
S 24.166802°
W  9.448242°		 ← 4 458.23 m →
19 882 074 m²		 S 24.166802°
W  9.404297°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3881 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4662 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.47381591796875 y=0.56915283203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.47381591796875 × 213)
    floor (0.47381591796875 × 8192)
    floor (3881.5)     		tx = 3881
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.56915283203125 × 213)
    floor (0.56915283203125 × 8192)
    floor (4662.5)     		ty = 4662
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3881 / 4662 ti = "13/3881/4662"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3881/4662.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3881 ÷ 213
    3881 ÷ 8192     		x = 0.4737548828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4662 ÷ 213
    4662 ÷ 8192     		y = 0.569091796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4737548828125 × 2 - 1) × π
    -0.052490234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.16490293
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.569091796875 × 2 - 1) × π
    -0.13818359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.434116562959229
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16490293} λ = -0.16490293}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.434116562959229))-π/2
    2×atan(0.647836737316927)-π/2
    2×0.57485296998993-π/2
    1.14970593997986-1.57079632675     		φ = -0.42109039
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16490293} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.448242°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.42109039 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -24.126702°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3881 KachelY 4662 -0.16490293 -0.42109039 -9.448242 -24.126702
    Oben rechts KachelX + 1 3882 KachelY 4662 -0.16413594 -0.42109039 -9.404297 -24.126702
    Unten links KachelX 3881 KachelY + 1 4663 -0.16490293 -0.42179027 -9.448242 -24.166802
    Unten rechts KachelX + 1 3882 KachelY + 1 4663 -0.16413594 -0.42179027 -9.404297 -24.166802
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.42109039--0.42179027) × R
    0.000699880000000042 × 6371000     		dl = 4458.93548000026m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.42109039--0.42179027) × R
    0.000699880000000042 × 6371000     		dr = 4458.93548000026m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16490293--0.16413594) × cos(-0.42109039) × R
    0.000766989999999995 × 0.912643779671347 × 6371000     		do = 4459.62770552425m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16490293--0.16413594) × cos(-0.42179027) × R
    0.000766989999999995 × 0.912357476140885 × 6371000     		du = 4458.22868524374m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.42109039)-sin(-0.42179027))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.912643779671347-0.912357476140885)×R²
    abs(-0.16413594--0.16490293)×0.000286303530462106×R²
    0.000766989999999995×0.000286303530462106×6371000²
    0.000766989999999995×0.000286303530462106×40589641000000     		ar = 19882073.9447436m²