Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3881 / 4647
↖ ↑ ↗
← S 23.523700°
W  9.448242°		 ← 4 480.40 m → S 23.523700°
W  9.404297°		 →
↑
4 479.70 m
↓
↑
4 479.70 m
↓
S 23.563987°
W  9.448242°		 ← 4 479.03 m →
20 067 804 m²		 S 23.563987°
W  9.404297°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3881 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4647 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.47381591796875 y=0.56732177734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.47381591796875 × 213)
    floor (0.47381591796875 × 8192)
    floor (3881.5)     		tx = 3881
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.56732177734375 × 213)
    floor (0.56732177734375 × 8192)
    floor (4647.5)     		ty = 4647
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3881 / 4647 ti = "13/3881/4647"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3881/4647.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3881 ÷ 213
    3881 ÷ 8192     		x = 0.4737548828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4647 ÷ 213
    4647 ÷ 8192     		y = 0.5672607421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4737548828125 × 2 - 1) × π
    -0.052490234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.16490293
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5672607421875 × 2 - 1) × π
    -0.134521484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.422611707050415
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16490293} λ = -0.16490293}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.422611707050415))-π/2
    2×atan(0.655333044916426)-π/2
    2×0.580115154263954-π/2
    1.16023030852791-1.57079632675     		φ = -0.41056602
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16490293} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.448242°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.41056602 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -23.523700°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3881 KachelY 4647 -0.16490293 -0.41056602 -9.448242 -23.523700
    Oben rechts KachelX + 1 3882 KachelY 4647 -0.16413594 -0.41056602 -9.404297 -23.523700
    Unten links KachelX 3881 KachelY + 1 4648 -0.16490293 -0.41126916 -9.448242 -23.563987
    Unten rechts KachelX + 1 3882 KachelY + 1 4648 -0.16413594 -0.41126916 -9.404297 -23.563987
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.41056602--0.41126916) × R
    0.000703140000000047 × 6371000     		dl = 4479.7049400003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.41056602--0.41126916) × R
    0.000703140000000047 × 6371000     		dr = 4479.7049400003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16490293--0.16413594) × cos(-0.41056602) × R
    0.000766989999999995 × 0.916895055063869 × 6371000     		do = 4480.40153420375m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16490293--0.16413594) × cos(-0.41126916) × R
    0.000766989999999995 × 0.916614185303787 × 6371000     		du = 4479.02906600574m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.41056602)-sin(-0.41126916))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.916895055063869-0.916614185303787)×R²
    abs(-0.16413594--0.16490293)×0.000280869760082347×R²
    0.000766989999999995×0.000280869760082347×6371000²
    0.000766989999999995×0.000280869760082347×40589641000000     		ar = 20067803.5864765m²