Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3881 / 2187
↖ ↑ ↗
← N 63.956673°
W  9.448242°		 ← 2 145.42 m → N 63.956673°
W  9.404297°		 →
↑
2 146.20 m
↓
↑
2 146.20 m
↓
N 63.937372°
W  9.448242°		 ← 2 146.90 m →
4 606 081 m²		 N 63.937372°
W  9.404297°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3881 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2187 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.47381591796875 y=0.26702880859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.47381591796875 × 213)
    floor (0.47381591796875 × 8192)
    floor (3881.5)     		tx = 3881
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.26702880859375 × 213)
    floor (0.26702880859375 × 8192)
    floor (2187.5)     		ty = 2187
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3881 / 2187 ti = "13/3881/2187"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3881/2187.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3881 ÷ 213
    3881 ÷ 8192     		x = 0.4737548828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2187 ÷ 213
    2187 ÷ 8192     		y = 0.2669677734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4737548828125 × 2 - 1) × π
    -0.052490234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.16490293
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2669677734375 × 2 - 1) × π
    0.466064453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.464184661995
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16490293} λ = -0.16490293}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.464184661995))-π/2
    2×atan(4.32401626786138)-π/2
    2×1.34352542756035-π/2
    2.6870508551207-1.57079632675     		φ = 1.11625453
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16490293} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.448242°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11625453 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.956673°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3881 KachelY 2187 -0.16490293 1.11625453 -9.448242 63.956673
    Oben rechts KachelX + 1 3882 KachelY 2187 -0.16413594 1.11625453 -9.404297 63.956673
    Unten links KachelX 3881 KachelY + 1 2188 -0.16490293 1.11591766 -9.448242 63.937372
    Unten rechts KachelX + 1 3882 KachelY + 1 2188 -0.16413594 1.11591766 -9.404297 63.937372
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11625453-1.11591766) × R
    0.000336869999999934 × 6371000     		dl = 2146.19876999958m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11625453-1.11591766) × R
    0.000336869999999934 × 6371000     		dr = 2146.19876999958m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16490293--0.16413594) × cos(1.11625453) × R
    0.000766989999999995 × 0.43905068160553 × 6371000     		do = 2145.41820963534m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16490293--0.16413594) × cos(1.11591766) × R
    0.000766989999999995 × 0.439353321681726 × 6371000     		du = 2146.89705833695m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11625453)-sin(1.11591766))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.43905068160553-0.439353321681726)×R²
    abs(-0.16413594--0.16490293)×0.000302640076195904×R²
    0.000766989999999995×0.000302640076195904×6371000²
    0.000766989999999995×0.000302640076195904×40589641000000     		ar = 4606080.91784425m²